Đáp án:
\[a > - \frac{1}{2}\]
Giải thích các bước giải:
Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi:
\(\begin{array}{l}
\frac{{a + 1}}{a} \ne \frac{{ - 1}}{1}\\
\Leftrightarrow a + 1 \ne - a\\
\Leftrightarrow a \ne - \frac{1}{2}
\end{array}\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {a + 1} \right)x - y = 3\\
ax + y = a
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ {\left( {a + 1} \right)x - y} \right] + \left[ {ax + y} \right] = 3 + a\\
\Leftrightarrow \left( {2a + 1} \right)x = a + 3\\
\Leftrightarrow x = \frac{{a + 3}}{{2a + 1}}\,\,\,\,\left( {a \ne - \frac{1}{2}} \right)\\
ax + y = a\\
\Leftrightarrow a.\frac{{a + 3}}{{2a + 1}} + y = a\\
\Leftrightarrow \frac{{{a^2} + 3a}}{{2a + 1}} + y = a\\
\Leftrightarrow y = a - \frac{{{a^2} + 3a}}{{2a + 1}} = \frac{{2{a^2} + a - {a^2} - 3a}}{{2a + 1}} = \frac{{{a^2} - 2a}}{{2a + 1}}\\
\Rightarrow x + y = \frac{{a + 3}}{{2a + 1}} + \frac{{{a^2} - 2a}}{{2a + 1}} = \frac{{{a^2} - a + 3}}{{2a + 1}}\\
x + y > 0 \Leftrightarrow \frac{{{a^2} - a + 3}}{{2a + 1}} > 0\\
{a^2} - a + 3 = {\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{11}}{4} > 0,\,\,\,\forall a\\
\Rightarrow 2a + 1 > 0\\
\Leftrightarrow a > - \frac{1}{2}
\end{array}\)
