Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Với $m = 24$
$ HPT ⇔ \left[ \begin{array}{l}(x² + 2x) + (y² + 2y) = 11\\(x² + 2x).(y² + 2y) = 24\end{array} \right.$
Theo Viet đảo $x² + 2x; y² + 2y$ là nghiệm pT bậc 2:
$ t² - 11t + 24 = 0 ⇒ t = 3; t = 8$
$ \left[ \begin{array}{l}x² + 2x = 3 \\ y² + 2y = 8\end{array} \right. ⇔ \left[ \begin{array}{l}x² + 2x - 3 = 0 \\ y² + 2y - 8 = 0 \end{array} \right. ⇔\left[ \begin{array}{l}x = 1; x = - 3\\ y = 2; y = - 4\end{array} \right. ⇔$
Hoán vị HPT có nghiệm là :
$ (x; y) = (1; 2); (1; - 4); (- 3; 2); (- 3; - 4); (2; 1); (2; - 3); (- 4; 1); (- 4; - 3)$
b) Đặt $ u = x² + 2x ⇒ u + 1 = (x + 1)² ≥ 0 ⇒ u ≥ - 1$
$ v = y² + 2y ⇒ v + 1 = (v + 1)² ≥ 0 ⇒ v ≥ - 1$
$HPT ⇔ \left[ \begin{array}{l}u + v = 11\\uv = m\end{array} \right.$
Theo Viet đảo $u; v$ là nghiệm pT bậc 2:
$ t² - 11t + m = 0 (*)$
Hệ có nghiệm $⇔ (*)$ có 2 nghiệm $ t ≥ - 1$
$ Δ = (-11)² - 4m = 121 - 4m ≥ 0 ⇔ m ≤ \dfrac{121}{4} (1)$
Theo Viet: $ \left[ \begin{array}{l}t_{1} + t_{2} = 11 > 0\\ t_{1}t_{2} = m\end{array} \right.$
$ t_{1} ≥ - 1; t_{2} ≥ - 1 ⇔ t_{1} + 1 ≥ 0; t_{2} + 1 ≥ 0 $
$ ⇔ (t_{1} + 1)(t_{2} + 1) ≥ 0 $
$ ⇔ t_{1}t_{2} + t_{1} + t_{2} + 1 ≥ 0$
$ ⇔ m + 12 > 0 ⇔ m ≥ - 12 (2)$
$ (1); (2) ⇒ - 12 ≤ m ≤ \dfrac{121}{4}$
