Đáp án:
$ \dfrac{11-\sqrt{41}}{2} $
Giải thích các bước giải:
$ \left\{ \begin{array}{l} (1-y)\sqrt{x-y}+x=2+(x-y-1)\sqrt{y}\,\,\,(1) \\ 2y-x+1=\sqrt{3x-y}\,\,\,\,(2) \end{array} \right. $
Điều kiện: $ \left\{ \begin{array}{l} x-y\ge 0 \\ y\ge 0 \\ 3x-y\ge 0 \end{array} \right. $
$ \begin{array}{l} (1)\Leftrightarrow (1-y)\sqrt{x-y}-(1-y)=(x-y-1)\sqrt{y}-(x-y-1) \\ \Leftrightarrow (1-y)\left( \sqrt{x-y}-1 \right)=(x-y-1)\left( \sqrt{y}-1 \right) \\ \Leftrightarrow (1-y)\left( \dfrac{x-y-1}{\sqrt{x-y}+1} \right)=(x-y-1)\left( \dfrac{y-1}{\sqrt{y}+1} \right) \\ \Leftrightarrow (x-y-1)(y-1)\left( \dfrac{1}{\sqrt{y}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x-y}+1} \right)=0 \end{array} $
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x-y=1 \\ y-1=0 \end{array} \right. $ (Vì $ \dfrac{1}{\sqrt{y}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x-y}+1}\, > 0\,\,\forall x,y $ thỏa mãn (*))
+ Trường hợp 1: $ y-1=0\Leftrightarrow y=1 $ Thay vào (2) ta được:
$ \begin{array}{l} 3-x=\sqrt{3x-1} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{3}\le x\le 3 \\ {{(3-x)}^{2}}=3x-1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{3}\le x\le 3 \\ {{x}^{2}}-9x+10=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow x=\dfrac{9-\sqrt{41}}{2} \end{array} $
+ Trường hợp 2: $ x-y=1\Leftrightarrow y=x-1 $ Thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
$ \begin{array}{l} 2(x-1)-x+1=\sqrt{3x-(x-1)}\Leftrightarrow x-1=\sqrt{2x+1} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge 1 \\ {{(x-1)}^{2}}=2x+1 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x\ge 1 \\ {{x}^{2}}-4x=0 \end{array} \right.\Leftrightarrow x=4 \end{array} $
Với $ x=4\Rightarrow \,y=3 $
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm $ (x;y)=\left\{ \left( \dfrac{9-\sqrt{41}}{2};1 \right),\,(4;3) \right\} $
Ta có: $ {{x}_{o}}+{{y}_{o}}=\dfrac{9-\sqrt{41}}{2}+1=\dfrac{11-\sqrt{41}}{2} $ hoặc $ {{x}_{o}}+{{y}_{o}}=7 $
Vậy $ ({{x}_{o}}+{{y}_{o}}) $ nhỏ nhất bằng $ \dfrac{11-\sqrt{41}}{2} $ .
