Đáp án:
\[{S_{\min }} = 8 \Leftrightarrow m = 1\]
Giải thích các bước giải:
Với \(m = 0\) thì hệ phương trình đã cho trở thành:
\(\left\{ \begin{array}{l}
- x = - 1\\
2x - y = 5
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y = - 3
\end{array} \right. \Rightarrow S = {x^2} + {y^2} = 10\)
Với \(m \ne 0\) ta có:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\left( {m - 1} \right)x - my = 3m - 1\\
2x - y = m + 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {m - 1} \right)x - my = 3m - 1\\
2mx - my = {m^2} + 5m
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left( {2mx - my} \right) - \left[ {\left( {m - 1} \right)x - my} \right] = {m^2} + 5m - 3m + 1\\
\Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)x = {m^2} + 2m + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)
\end{array}\)
Hệ đã cho có nghiệm duy nhất nên \(m \ne - 1\), khi đó:
\(\begin{array}{l}
\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = m + 1\\
2x - y = m + 5\\
\Leftrightarrow 2\left( {m + 1} \right) - y = m + 5\\
\Leftrightarrow y = m - 3\\
\Rightarrow S = {x^2} + {y^2} = {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {m - 3} \right)^2} = 2{m^2} - 4m + 10 = 2{\left( {m - 1} \right)^2} + 8 \ge 8
\end{array}\)
Vậy \({S_{\min }} = 8 \Leftrightarrow m = 1\)
