`a)`
Ta có:`AH⊥BD(g``t)`
`CK⊥BD(g``t)`
`⇒AH////CK(` từ `⊥` đến `////)`
Vì `ABCD` là hình bình hành
`⇒AD=BC(` tính chất hình bình hành `)`
`AD////BC(` tính chất hình bình hành `)`
Vì `AD////BC(cmt)`
`⇒hat{D_1}=hat{B_1}(2` góc so le trong `)`
Xét `2Δ` vuông `ADH` và `CBK` có:
`AD=BC(cmt)`
`hat{D_1}=hat{B_1}(cmt)`
`⇒ΔADH=ΔCBK(` cạnh huyền-góc nhọn `)`
`⇒AH=CK(2` cạnh tương ứng `)`
Xét tứ giác `AHCK` có:
`AH////CK(cmt)`
`AH=CK(cmt)`
`⇒` tứ giác `AHCK` là hình bình hành `(` tứ giác có `2` cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành `)(đpcm)`
`b)`
Gọi `AC∩BD={O}`
Vì tứ giác `AHCK` là hình bình hành
`⇒O` là trung điểm của `2` đường chéo `AC` và `HK(` tính chất hình bình hành `)(1)`
Vì `AH////CK(cmt)`
Mà `N∈AH,M∈CK`
`⇒AN////CM`
Vì `ABCD` là hình bình hành
`⇒AB////CD(` tính chất hình bình hành `)`
Mà `M∈AB,N∈CD`
`⇒AM////CN`
Xét tứ giác `AMCN` có:
`AM////CN(cmt)`
`AN////CM(cmt)`
`⇒` tứ giác `AMCN` là hình bình hành `(` tứ giác có cạnh đối song song là hình bình hành `)`
`⇒O` là trung điểm của `2` đường chéo `AC` và `MN(` tính chất hình bình hành `)(2)`
Từ `(1)` và `(2)⇒MN,HK,AC` đồng quy tại điểm `O(đpcm)`
