Đáp án+Giải thích các bước giải:
$a) ABCD$ là hình bình hành
$\Rightarrow AB//CD$
Mà $N \in AB, M \in CD$
$\Rightarrow AN//DM (1)$
$ABCD$ là hình bình hành đồng thời là hình thang có $M,N$ lần lượt là trung điểm cạnh $CD,AB$
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình $ABCD$
$\Rightarrow MN//AD (2)$
$(1)(2) \Rightarrow ANMD$ là hình bình hành
$N$ là trung điểm $AB \Rightarrow AN=\dfrac{1}{2}AB=AD$
$ANMD$ là hình bình hành có $AN=AD$
$\Rightarrow ANMD$ là hình thoi
$b) MN$ cắt $BH$ tại $E$
$MN//AD, AD \perp HB\\ \Rightarrow MN \perp HB\\ \Rightarrow ME \perp HB$
Có $MN//AD, E \in MN, H \in AD$
$\Rightarrow NE//AH$
$\Delta BAH$ có $N$ là trung điểm $AB, NE // AH$
$\Rightarrow E$ là trung điểm $HB$
$\Delta MHB$ có $ME$ vừa là đường cao vừa là trung tuyến
$\Rightarrow \Delta MHB$ cân tại $M$
$\Rightarrow ME$ đồng thời là phân giác
$\Rightarrow \widehat{M_1}=\widehat{M_2} (3)$
Chứng minh tương tự câu $a$
$\Rightarrow NBCM$ là hình bình thoi
$\Rightarrow MB$ là phân giác $\widehat{NMC}$
$\Rightarrow \widehat{M_2}=\widehat{M_3} (4)\\ (3)(4) \Rightarrow \widehat{M_1}=\widehat{M_2}=\widehat{M_3} \\ \Rightarrow \widehat{M_1}+\widehat{M_2}+\widehat{M_3} =\dfrac{3}{2}\\ (\widehat{M_2}+\widehat{M_3} )\\ \Rightarrow \widehat{HMC} =\dfrac{3}{2}\widehat{NMC}=\dfrac{3}{2}\widehat{ADC}=105^\circ (\text{do }MN//AD).$
