Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có: ABCD là hình bình hành
\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{S_{ABD}} = {S_{BCD}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} = \frac{1}{2}S\\{S_{ABC}} = {S_{ADC}} = \frac{1}{2}{S_{ABCD}} = \frac{1}{2}S\end{array} \right..\]
\( \Rightarrow {S_{MNDC}} = {S_{BCD}} - {S_{BMN}} = \frac{1}{2}S - {S_{BMN}}.\)
Kẻ \(NK \bot BC;\,\,OH \bot BC.\)
Xét tam giác ABC ta có:
BO và AM là các đường trung tuyến của tam giác ABC.
=> N là trọng tâm tam giác ABC.
\( \Rightarrow \frac{{BN}}{{BO}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{{NK}}{{OH}} = \frac{2}{3}\) (định lý Ta-let)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{S_{BNM}} = \frac{1}{2}NK.BM\\{S_{BOC}} = \frac{1}{2}OH.BC\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{{S_{BNM}}}}{{{S_{BOC}}}} = \frac{{\frac{1}{2}NK.BM}}{{\frac{1}{2}OH.BC}} = \frac{{NK}}{{OH}}.\frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2} = \frac{1}{3}\\ \Rightarrow {S_{BNM}} = \frac{1}{3}{S_{BOC}}\\ \Rightarrow {S_{BNM}} = \frac{1}{6}{S_{BCD}}\\ \Rightarrow {S_{BNM}} = \frac{1}{{12}}{S_{ABCD}} = \frac{1}{{12}}S\\ \Rightarrow {S_{MNDC}} = S - {S_{BNM}} = S - \frac{1}{{12}}S = \frac{{11}}{{12}}S.\end{array}\)
