a) Vì ABCD là hình bình hành (gt)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AB = C{\rm{D}}\\
AB//C{\rm{D}}
\end{array} \right.\)
(tính chất hình bình hành)
Mà $I, K$ theo thứ tự là trung điểm của $CD, AB$ (gt)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AK = \frac{{AB}}{2}\\
IC = \frac{{DC}}{2}
\end{array} \right.\)
(tính chất trung điểm)
\( \Rightarrow AK = IC, DI = IC \)
Lại có: \(AB//DC\left( {cmt} \right) \Rightarrow AK//IC\)
Tứ giác $AICK$ có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
AK//IC{\rm{ }}\\
{\rm{ }}AK = IC
\end{array} \right.\left( {cmt} \right)\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác $AICK$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
\(\Rightarrow AI // CK\) (tính chất hình bình hành)
b) $∆DCN$ có $DI = IC$ (cmt), $IM // CN$ (vì $AI // KC$)
\(\Rightarrow\) $DM = MN$ (1) (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)
Xét $∆ABM$ có $AK = KB (cmt)$ và $KN // AM$ ( vì $AI // CK$ )
\(\Rightarrow MN = NB \). (2) (Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow DM = MN = NB.\)
