Giải thích các bước giải:
Gọi $AC\cap BD=O\to O$ là trung điểm $AC,BD$ vì $ABCD$ là hình thang
Gọi $AN\cap DO=E, AM\cap BO=F$
Vì $M,N$ là trung điểm $BC, CD$
$\to E,F$ là trọng tâm $\Delta ACD,ACB$
Ta có $M,N$ là trung điểm $BC, CD$
$\to MN$ là đường trung bình $\Delta ANM$
$\to MN//BD\to MN//EF$
Vì $E,F$ là trọng tâm $\Delta ACD,ACB$
$\to OE=\dfrac13OD=\dfrac13OB=OF\to O$ là trung điểm $EF$
$\to \dfrac{OE}{GN}=\dfrac{OF}{GM}(=\dfrac{AO}{AG})$ vì $EF//MN$
$\to GN=GM\to G$ là trung điểm $MN$
$\to \vec{AM}+\vec{AN}=2\vec{AG}$
Lại có $MN//BD\to GM//OB\to \dfrac{GC}{GO}=\dfrac{MC}{MB}=1$
Vì $M$ là trung điểm $BC\to G$ là trung điểm $OG$
$\to GC=\dfrac14AC,AG=\dfrac34AC\to \vec{AC}=\dfrac43\vec{AG}$
Ta có:
$\begin{split}\vec{BC}&=2\vec{CM}\\&=2(\vec{CA}+\vec{AM})\\&=2(-\vec{AC}+\vec{AM})\\&=2(-\dfrac43\vec{AG}+\vec{AM})\\&=2(-\dfrac43\cdot\dfrac12(\vec{AM}+\vec{AN})+\vec{AM})\\&=\dfrac23\cdot (\vec{AM}-2\vec{AN})\end{split}$
Ta có:
$\vec{CD}=2\vec{ND}$
$\to \vec{CD}=2(\vec{NA}+\vec{AD})$
$\to \vec{CD}=2(-\vec{AN}+\vec{BC})$
$\to \vec{CD}=2(-\vec{AN}+\dfrac23\cdot (\vec{AM}-2\vec{AN}))$
$\to \vec{CD}=2(\dfrac23\vec{AM}-\dfrac73\vec{AN})$
