a) Xét $∆AMB$ và $∆CND$ có:
$BM = ND =\dfrac13BD\quad (gt)$
$AB = CD\quad (gt)$
$\widehat{ABM}=\widehat{CDN}$ (so le trong)
Do đó $∆AMB=∆CND\, (c.g.c)$
b) Ta có:
$ABCD$ là hình bình hành
$AC\cap BD =\left\{O\right\}$
$\Rightarrow OA = OC; \, OB = OD$
Ta lại có: $BM = ND\quad (gt)$
$\Rightarrow OB - BM = OD - ND$
$\Rightarrow OM = ON$
Xét tứ giác $AMCN$ có:
$OA = OC$ (tính chất)
$OM = ON\quad (cmt)$
Do đó $AMCN$ là hình bình hành (Dấu hiệu nhận biết thứ 5)
c) Xét $∆ABC$ có:
$BO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $AC\quad (OA = OC)$
$BM = \dfrac{1}{3}BD = \dfrac{2}{3}BO$
$\Rightarrow M$ là trọng tâm $∆ABC$
mà $M\in AI;\, I\in BC$
$\Rightarrow AI$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$
$\Rightarrow AM = 2MI$
d) Xét tứ giác $AICK$ có:
$AI//CK\quad (AM//CN)$
$AK//CI\quad (AD//BC)$
Do đó $AICK$ là hình bình hành
$\Rightarrow AC, IK$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
mà $O$ là trung điểm $AC$
nên $O$ là trung điểm $IK$
hay $I,K$ đối xứng nhau qua $O$
