Cho hình bình hành \(ABCD\) và đường thẳng \(d\) không có điểm nào chung với hình bình hành. Gọi \(AE, BF, CG, DH\) là các đường vuông góc kẻ từ \(A, B, C, D\) đến đường thẳng \(d\). Chứng minh rằng \(AE + CG = BF + DH\). A. B. C. D.
Đáp án đúng: Giải chi tiết: Do \(AE, BF, CG, DH\) cùng vuông góc với d suy ra \(AE // BF // CG//DH\). Nên \(AEGC\) và \(BFHD\) là hai hình thang vuông. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình bình hành \(ABCD\), ta được: \(AO = OC\) (1), \(BO = OD\) (2) Vẽ thêm \(OI \bot d\) thì \(OI // AE // CG\) (3) và \(OI // BF // DH\) (4) (do cùng vuông góc với d). Từ (1) và (3) suy ra \(OI, AE, CG\) là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng chắn trên đường thẳng d hai đoạn liên tiếp bằng nhau là \(EI = IG\) (5) Từ (2) và (4) suy ra \(OI, BF, DH\) cũng là ba đường thẳng song song cách đều nên chúng cũng chắn trên đường thẳng d hai đoạn liên tiếp bằng nhau là \(FI = IH\) (6) Từ (1) với (5) và (2) với (6) ta có \(OI\) là đường trung bình của hai hình vuông \(AEGC\) và \(BFHD\). Áp dụng định lý đường trung bình vào hai hình thang trên ta được: \(2OI = AE + CG = BF + DH\)