Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có \(SA = 2a,\,\,AB = 3a\). Tính góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)?\) A.\({30^0}\) B.\({45^0}\) C.\({60^0}\) D.\({90^0}\)
Đáp án đúng: A Giải chi tiết: Gọi \(H\) là trọng tâm tam giác đều \(ABC\). Vì chóp \(S.ABC\) là chóp đều \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\). \( \Rightarrow HA\) là hình chiếu của \(SA\) lên \(\left( {ABC} \right)\). \( \Rightarrow \angle \left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SA;HA} \right) = \angle SAH\). Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(3a \Rightarrow AD = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}AD = a\sqrt 3 \). \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AH \Rightarrow \Delta SAH\) vuông tại \(H\). Do \(H\) là trọng tâm của tam giác đều \(ABC\) nên \( \Rightarrow \cos \angle SAH = \dfrac{{AH}}{{SA}} = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{{2a}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \angle SAH = {30^0}\). Vậy góc tạo bởi \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) bằng \({30^0}\). Chọn A.