Đáp án:
$\tan\alpha = \dfrac{a\sqrt{51}}{3}$
Giải thích các bước giải:
Vẽ $SH\bot BC$ tại $H\Rightarrow SH\bot(ABC)$
Vẽ $HD\bot AB$
Có $AB\bot SH$ $(\text{do }SH\bot(SAB))$
$HD,SH\subset(SHD)$
$\Rightarrow AB\bot(SHD), SD\subset(SHD)\Rightarrow AB\bot SD$
$\Rightarrow\widehat{((SAB),(ABC))}=\widehat{(SD,HD)}=\widehat{SDH}=60^o$
Tương tự vẽ $HE\bot AC$ tại $E$, $AC\bot SH\Rightarrow AC\bot(SHE)\Rightarrow AC\bot SE$
$\Rightarrow\widehat{((SAC),(ABC))}=\widehat{(SE,HE)}=\widehat{SEH}=60^o$
$\Rightarrow\Delta$ vuông $ SHD=\Delta$ vuông $ SHE$ (cạnh huyền - góc nhọn)
(vì $SH $ chung, $\widehat{SDH}=\widehat{SEH}=60^o$ cmt)
$\Rightarrow HD=HE\Rightarrow ADHE$ là hình vuông
$\Rightarrow AH$ là phân giác $\widehat{BAC}$
Theo tính chất đường phân giác và định lý Ta-lét, $\Delta ABC$ có:
$\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{HC}{HB}=\dfrac{AC}{AB}=2$
$\Rightarrow AD=HD=\dfrac{2a}3$
$\Rightarrow\Delta SHD\bot H$ có: $ \tan\widehat{SDH}=\dfrac{SH}{HD}$
$\Rightarrow SH=HD\tan\widehat{SDH}=\dfrac{2a}3\tan60^o=\dfrac{2a\sqrt3}{3}$
Vẽ $AM\bot BC$ tại $M\Rightarrow AM\bot(SBC)$ (vì $(SBC)\bot(ABC)$)
Vẽ $MN\bot SB$ tại $N$ $\Rightarrow AN\bot SB$ (định lý ba đường vuông góc)
$\Rightarrow \alpha=\widehat{ANM}$
$\Delta BMA\sim\Delta BAC$ (g.g) (vì góc B chung, góc M, A bằng $90^o$)
$\Rightarrow \dfrac{AM}{CA}=\dfrac{BM}{BA}\Rightarrow\dfrac{AM}{BM}=\dfrac{CA}{BA}=2$
$\Rightarrow AM=2BM$
Mà $AM^2+BM^2=AB^2=a^2$
$\Leftrightarrow 5BM^2=a^2\Leftrightarrow BM=\dfrac a{\sqrt5},AM=\dfrac{2a}{\sqrt5}$
$\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{1}{2}$ (tính chất đường phân giác)
$\Rightarrow BH=\dfrac{CH}{2}=\dfrac{BC}{3}=\dfrac{AB^2+AC^2}{3}=\dfrac{a\sqrt5}{3}$
$\Delta SHB\bot H$: $SB=\sqrt{SH^2+BH^2}=\dfrac{a\sqrt{17}}{3}$
$\Delta BMN\sim\Delta BSH$ (g.g) (vì có góc B chung, góc N, H vuông)
$\Rightarrow\dfrac{MN}{SH}=\dfrac{BM}{BS}$
$\Rightarrow MN=\dfrac{SH.BM}{SB}=\dfrac{2a\sqrt3}{\sqrt85}$
$\Rightarrow\tan\alpha=\dfrac{AM}{MN}=\dfrac{\dfrac{2a}{\sqrt5}}{\dfrac{2a\sqrt3}{\sqrt85}}=\dfrac{a\sqrt{17}}{\sqrt3}=\dfrac{a\sqrt{51}}{3}$
