Giải thích các bước giải:
1.Vì AB là đường kính của (O) $\to \widehat{AMB}=90^o\to \widehat{AIK}=\widehat{KMB}$
$\to\Diamond KMBI$ nội tiếp
$\to $B,M,K,I cùng nằm trên một đường tròn
2.Ta có $AC\perp BC, CI\perp AB\to AC^2=AI.AB$
Mà $\Delta AIK\sim\Delta AMB(g.g)\to AI.AB=AK.AM\to AK.AM=AI.AB=AC^2$
3.Ta có $\widehat{ABC}=30^o\to\widehat{BAC}=60^o\to \Delta AOC$ đều
$\to I$ là trung điểm AO
$\to IO=\dfrac 12 R=\dfrac 12 OB$
Mà $I$ là trung điểm CD do $AB\perp CD\to BI$ là trung tuyến $\Delta BCD$
Kết hợp $OI=\dfrac 12 OB\to O$ là trọng tâm $\Delta BCD$
4.Ta có $P_{BMC}=MC+MB+BC$
$\to P_{PMC}$ min
$\to MB+MC$ min
Xét $\Delta MCB$ có $\widehat{CMB}=180^o-\widehat{CAB}=const$
$\to$Theo định lý sin ta có :
$\dfrac{MC}{\sin\widehat{CBM}}=\dfrac{MB}{\sin\widehat{MCB}}=2R$
$\to MC+MB=2R(\sin\widehat{CBM}+\sin\widehat{MCB})$
