Đáp án:
$ V_{S.ABMD} = 8\sqrt{15}$
$S = \dfrac{124\pi}{3}$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
$SA = SB = SC = SD=6$
$\to SO\perp (ABCD)$
$\to OA =OB =OC =OD$
$\to ABCD$ là hình chữ nhật
$\to S_{ABCD}= AB.AD = 4.4\sqrt3 = 16\sqrt3$
Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:
$+)\quad BD^2 = AB^2 + AD^2 = 16 + 48 = 64$
$\to BD = 8$
$\to OA = OB = OC = OD = \dfrac12BD = 4$
$+)\quad SA^2 = OA^2 + SO^2$
$\to SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{36 - 16} = 2\sqrt5$
$\to V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SO = \dfrac13\cdot 16\sqrt3 \cdot 2\sqrt5 = \dfrac{32\sqrt{15}}{3}$
Ta có:
$MC = \dfrac12OC$
$\to AM = \dfrac34AC$
$\to S_{ABM} = \dfrac34S_{ABC}$
$\to S_{ABM} = \dfrac38S_{ABCD}$
$\to S_{ABMD} = 2S_{ABM} =\dfrac34S_{ABCD}$
$\to V_{S.ABMD} = \dfrac34V_{ABCD} = \dfrac34\cdot \dfrac{32\sqrt{15}}{3} = 8\sqrt{15}$
Xét $ΔOCD$ có:
$OC = OD = CD = 4$
$\to ΔOCD$ đều
Gọi $G$ là trọng tâm $ΔOCD$
$\to OG = \dfrac{CD\sqrt3}{3} = \dfrac{4\sqrt3}{3}$
Từ $G$ kẻ đường thẳng $d\perp (OCD)$
$\to d$ là trục của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.OCD$
Gọi $N$ là trung điểm $SO$
$\to ON =\dfrac12SO = \sqrt5$
Trong $mp(SOG)$ kẻ đường trung trực của $SO$ tại $N$, cắt $d$ tại $I$
$\to I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.OCD$
Khi đó:
$R = IO = GN = \sqrt{ON^2 + OG^2} = \sqrt{5 + \dfrac{16}{3}}= \dfrac{\sqrt{93}}{3}$
Ta được:
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.OCD:$
$S = 4\pi R^2 = 4\pi\cdot \left(\dfrac{\sqrt{93}}{3}\right)^2 = \dfrac{124\pi}{3}$
