Đáp án:
Giải thích các bước giải:
a) Gọi $O$ là tâm của hình chữ nhật $ABCD$
$\to OA = OB = OC = OD =\dfrac12AC$
Lại có: $SA = SB = SC = SD\quad (gt)$
$\to SO\perp (ABCD)$
$\to SO\perp AC$
Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:
$+)\quad AC^2 = AB^2 + BC^2$
$\to AC =\sqrt{AB^2 + BC^2}$
$\to AC =\sqrt{2a^2 + a^2}$
$\to AC = a\sqrt3$
$\to OA =\dfrac{a\sqrt3}{2}$
$+)\quad SA^2 = OA^2 + SO^2$
$\to SO =\sqrt{SA^2 - OA^2}$
$\to SO =\sqrt{4a^2 - \dfrac{3a^2}{4}}$
$\to SO = \dfrac{a\sqrt{13}}{2}$
Áp dụng hệ thức lượng trong $∆ABC$ vuông tại $B$ đường cao $BK$ ta được:
$AB^2 = AK.AC$
$\to AK =\dfrac{AB^2}{AC}$
$\to AK =\dfrac{2a^2}{a\sqrt3}$
$\to AK =\dfrac{2a\sqrt3}{3}$
Xét $∆AHK$ và $∆AOS$ có:
$\begin{cases}\widehat{A}: \, chung\\\widehat{H}=\widehat{O}=90^\circ\end{cases}$
Do đó: $∆AHK\sim ∆AOS\, (g.g)$
$\to \dfrac{HK}{SO}=\dfrac{AK}{SA}$
$\to HK =\dfrac{AK.SO}{SA}$
$\to HK = \dfrac{\dfrac{2a\sqrt3}{3}\cdot\dfrac{a\sqrt{13}}{2}}{2a}$
$\to HK = \dfrac{a\sqrt{39}}{6}$
b) Gọi $I$ là trung điểm $BK$
$\to MI$ là đường trung bình của $∆ABK$
$\to MI =\dfrac12AB;\, MI//AB$
Lại có: $NC =\dfrac12CD;\, NC//AB$
$\to MI= NC;\, MI//NC$
$\to MNCI$ là hình bình hành
$\to MN//CI\quad (1)$
Mặt khác:
$MI//AB\quad (cmt)$
$AB\perp BC$
$\to MI\perp BC$
Xét $∆BMC$ có:
$MI\perp BC\quad (cmt)$
$BK\perp MC\quad (BK\perp AC)$
$BK\cap MI =\{I\}$
$\to I$ là trực tâm của $∆BMC$
$\to CI\perp BM\quad (2)$
Từ $(1)(2)\to MN\perp BM$
