Đáp án:
$\sin ((SBD), (SCD))=\dfrac{\sqrt{21}}{14}$
Giải thích các bước giải:
Kẻ $AH\perp BD,AK\perp SC$, $AM\bot SH$
Ta có: $SA\perp (ABCD)\to SA\perp BD$ và có $AH\bot BD$ (cách dựng)
$\Rightarrow BD\perp (SAH)\to SH\perp BD$
và $BD\perp (SAH)\to BD\perp AM$ và có $AM\bot SH$ (cách dựng)
$\Rightarrow AM\perp (SBD)$ (1)
Lại có $\Delta ACD$: $AD=2a, AC= CD=a\sqrt{2}$ theo định lý pitago đảo
$\to DC\perp AC$ và có $CD\bot SA$
$\to CD\perp (SAC)\to CD\bot AK$ và có $AK\bot SC$
$\Rightarrow AK\perp (SCD)$ (2)
Từ (1) và (2) $\to ((SBD), (SCD))=(AM,AK)=\widehat{KAM}$
Ta có :
$+)\dfrac{1}{AM^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AH^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AD^2}\to AM=\dfrac{2a}{\sqrt{7}}$
$+)\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{SA^2}+\dfrac{1}{AC^2}\to AK=a$
Mà $SA^2=SM.SH=SK.SC\to \Delta SMK\sim\Delta SCH(c.g.c)$
$\to \dfrac{MK}{HC}=\dfrac{SM}{SC}$
$\to MK=HC.\dfrac{SM}{SC}=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$
Xét $\Delta AMK: AM=\dfrac{2a}{\sqrt{7}}, AK=a, MK=\dfrac{a\sqrt{7}}{7}$
$\to \cos \widehat{KAM}=\dfrac{5\sqrt{7}}{14}$
$\to \sin \widehat{MAK}=\dfrac{\sqrt{21}}{14}$
$\to \sin ((SBD), (SCD))=\dfrac{\sqrt{21}}{14}$
