- a) Tính ${{V}_{S.ABCD}}$
${{V}_{S.ABCD}}=\dfrac{1}{3}\,\,.\,\,SA\,\,.\,\,{{S}_{ABCD}}=\dfrac{1}{3}\,\,.\,\,a\,\,.\,\,{{a}^{2}}=\dfrac{{{a}^{3}}}{3}$
- b) Chứng minh các mặt bên là các tam giác vuông
$SA\bot\left(ABCD\right)\to\begin{cases}SA\bot AB\\SA\bot AD\end{cases}\to\begin{cases}\Delta{SAB}\\\Delta{SAD}\end{cases}$ vuông tại $A$
$\begin{cases}BC\bot AB\\BC\bot SA\end{cases}\to BC\bot\left(SAB\right)\to BC\bot SB\to\Delta{SBC}$ vuông tại $B$
$\begin{cases}CD\bot AD\\CD\bot SA\end{cases}\to CD\bot\left(SAD\right)\to CD\bot SD\to\Delta{SCD}$ vuông tại $D$
- c) Chứng minh $7$ điểm $A,B,C,D,H,I,K$ nằm trên $1$ mặt cầu
Theo định lý Pi-ta-go trong tam giác $SAB$ và $SAD$ ta có được $SB=SD=a\sqrt{2}$
$\begin{cases}\Delta{SAB}\\\Delta{SAD}\end{cases}$ là các tam giác vuông có $SA=AB=AD=a$
$\to\begin{cases}\Delta{SAB}\\\Delta{SAD}\end{cases}$ là các tam giác vuông cân
$\to H,K$ lần lượt là trung điểm $SB,SD$
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$
$\to OA=OB=OC=OD=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\Delta{IAC}$ vuông tại $I$ có $IO$ là đường trung tuyến
$\to OI=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\begin{cases}BD\bot AC\\BD\bot SA\end{cases}\to BD\bot\left(SAC\right)\to BD\bot SO\to\begin{cases}\Delta{SOB}\\\Delta{SOD}\end{cases}$ vuông tại $O$
$\begin{cases}\Delta{SOB}\\\Delta{SOD}\end{cases}$ là hai tam giác vuông có $OH,OK$ lần lượt là hai đường trung tuyến
$\to\begin{cases}OH=\dfrac{1}{2}SB\\OK=\dfrac{1}{2}SD\end{cases}\to OH=OK=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
Tổng hợp lại, ta có được như sau:
$OA=OB=OC=OD=OI=OH=OK=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$
$\to 7$ điểm $A,B,C,D,H,I,K$ cùng thuộc một mặt cầu tâm $O$
