Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,SAB\) là tam giác đều và \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với \(\left( {ABCD} \right).\) Tính \(\cos \varphi \) với \(\varphi \) là góc tạo bởi \((SAC)\) và \((SCD).\)A.\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{7}\)B.\(\dfrac{{\sqrt 6

huyenmy2019

2 năm trước

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,SAB\) là tam giác đều và \(\left( {SAB} \right)\) vuông góc với \(\left( {ABCD} \right).\) Tính \(\cos \varphi \) với \(\varphi \) là góc tạo bởi \((SAC)\) và \((SCD).\)
A.\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{7}\)
B.\(\dfrac{{\sqrt 6 }}{7}\)
C.\(\dfrac{{\sqrt 3 }}{7}\)
D.\(\dfrac{5}{7}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 24 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

alangpuitaygiang

Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:
Gọi \(H;M\) là trung điểm của \(AB;BC\). \(DM\) cắt \(CH;AC\) lần lượt tại \(K\) và \(I\) .
+ Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\end{array} \right.\) mà \(SH \bot AB\) (do tam giác \(SAB\) đều có \(SH\) là đường trung tuyến)
Suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
+ Xét \(\Delta BHC = \Delta CMD\left( {c - g - c} \right) \Rightarrow \widehat B = \widehat {DMC}\)
mà \(\widehat B + \widehat {BCH} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {KMC} + \widehat {KCM} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {MKC} = 90^\circ \Rightarrow MD \bot CH\)
Ta có \(MD \bot CH\,\left( {cmt} \right);\,MD \bot SH\) (do \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)) nên \(MD \bot \left( {SHC} \right) \Rightarrow MD \bot SC\)
+ Trong \(\left( {SHC} \right)\) kẻ \(KE \bot SC\) tại \(E.\)
Ta có \(KE \bot SC\) và \(MD \bot SC \Rightarrow SC \bot \left( {EKD} \right)\)
Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SDC} \right) \bot \left( {KED} \right)\\\left( {SAC} \right) \bot \left( {KED} \right)\\\left( {SDC} \right) \cap \left( {KED} \right) = DE\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {KED} \right) = IE\end{array} \right. \Rightarrow \) góc giữa \((SAC)\) và \((SCD)\) là góc tạo bởi \(EI;ED\).
+ Vì \(MC//AD \Rightarrow \dfrac{{IA}}{{IC}} = \dfrac{{ID}}{{IM}} = \dfrac{{AD}}{{MC}} = \dfrac{{2a}}{a} = 2\)
\( \Rightarrow ID = \dfrac{2}{3}MD = \dfrac{2}{3}\sqrt {D{C^2} + M{C^2}} = \dfrac{2}{3}\sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{3}\)
Và \(\dfrac{{IA}}{{IC}} = 2 \Rightarrow IC = \dfrac{1}{3}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
+ Xét tam giác vuông \(DMC\) có \(CK\) là đường cao nên \(CK.MD = MC.CD \Leftrightarrow CK.\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2} = a.\dfrac{a}{2} \Rightarrow CK = \dfrac{a}{{\sqrt 5 }}\)
+ Ta có \(\Delta CEK\) đồng dạng với \(\Delta CHS\) \( \Rightarrow \dfrac{{EK}}{{SH}} = \dfrac{{CK}}{{CS}}\) \( \Rightarrow EK = \dfrac{{SH.CK}}{{CS}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{a}{{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt {H{S^2} + C{H^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{2\sqrt 5 }}}}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt {10} }}\)
+ Tam giác \(KEC\) vuông tại E nên \(EC = \sqrt {C{K^2} - E{K^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{{\sqrt 5 }}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{{2\sqrt {10} }}} \right)}^2}} = \dfrac{a}{{2\sqrt 2 }}\)
+ Tam giác \(IKC\) vuông tại K nên \(KI = \sqrt {I{C^2} - C{K^2}} = \sqrt {\dfrac{{2{a^2}}}{9} - \dfrac{{{a^2}}}{5}} = \dfrac{a}{{3\sqrt 5 }}\)
+ Xét tam giác \(EKI\) vuông tại K (vì \(MD \bot \left( {SHC} \right) \Rightarrow DK \bot KE\) ) có
\(EI = \sqrt {E{K^2} + K{I^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{{40}} + \dfrac{{{a^2}}}{{45}}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{{6\sqrt 2 }}\)
+ Xét tam giác \(ECD\) vuông tại E (do \(SC \bot \left( {EDK} \right) \Rightarrow SC \bot ED\)) có
\(ED = \sqrt {C{D^2} - E{C^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{a}{{2\sqrt 2 }}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}\)
+ Xét tam giác \(EID\) ta có \(\cos IED = \dfrac{{I{E^2} + E{D^2} - I{D^2}}}{{2IE.ED}} = \dfrac{{\dfrac{{7{a^2}}}{{72}} + \dfrac{{7{a^2}}}{8} - \dfrac{{5{a^2}}}{9}}}{{2.\dfrac{{a\sqrt 7 }}{{6\sqrt 2 }}.\dfrac{{a\sqrt 7 }}{{2\sqrt 2 }}}} = \dfrac{5}{7} > 0\)
Vậy \(\cos \varphi = \dfrac{5}{7}.\)
Chọn D.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a,\) khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) là \(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\) , khoảng cách giữa \(SA,BC\) là \(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\) . Biết hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nằm trong tam giác \(ABC,\) tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).
A.\(\dfrac{{{a^3}}}{4}\)
B.\(\dfrac{{{a^3}}}{8}\)
C.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}\)
D.\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)

Đề kiểm tra môn toán học kì I của 40 học sinh lớp 7A ghi lại trong bảng sau:
a) Dấu hiệu ở đây là gì?
b) Lập bảng tần số.
c) Tính số trung bình cộng
d) Tìm mốt của dấu hiệu và nhận xét.
Điểm trung bình cộng bằng:
A.\(7,00\)
B.\(7,15\)
C.\(7,25\)
D.\(7,35\)

Thu gọn rồi tìm hệ số và tìm bậc của đơn thức sau: \( - 3{x^4}{y^4}z.\left( { - \frac{1}{3}{y^2}{z^3}} \right)\)
Bậc của đơn thức thu gọn là:
A.\(8\)
B.\(12\)
C.\(14\)
D.\(11\)

Cho hai số thực \(a,b\) thỏa mãn \(\dfrac{1}{4} < b < a < 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\log _a}\left( {b - \dfrac{1}{4}} \right) - {\log _{\frac{a}{b}}}\sqrt b \).
A.\(P = \dfrac{7}{2}\)
B.\(P = \dfrac{3}{2}\)
C.\(P = \dfrac{9}{2}\)
D.\(P = \dfrac{1}{2}\)

Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu đi qua \(4\) điểm \(A\left( {2;0;0} \right),B\left( {1;3;0} \right),C\left( { - 1;0;3} \right),D\left( {1;2;3} \right)\). Tính bán kính \(R\) của \(\left( S \right)\).
A.\(R = 2\sqrt 2 \)
B.\(R = \sqrt 6 \)
C.\(R = 3\)
D.\(R = 6\)

Một hình trụ có bán kính đáy bằng chiều cao và bằng \(a.\) Một hình vuông \(ABCD\) có \(AB;{\rm{ }}CD\) là 2 dây cung của 2 đường tròn đáy và mặt phẳng \((ABCD)\) không vuông góc với đáy. Diện tích hình vuông đó bằng
A.\(\dfrac{{5{a^2}}}{4}\)
B.\(\dfrac{{5{a^2}\sqrt 2 }}{4}\)
C.\(5{a^2}\)
D.\(\dfrac{{5{a^2}}}{2}\)

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B,AB = BC = a;{\rm{ }}AD = 2a.\) Tam giác \(SAD\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp tam giác \(S.ABC.\)
A.\(3\pi {a^2}\)
B.\(5\pi {a^2}\)
C.\(6\pi {a^2}\)
D.\(10\pi {a^2}\)

Cho \(f\left( x \right) = {\left( {{e^x} + {x^3}\cos x} \right)^{2018}}\) . Giá trị của \(f''\left( 0 \right)\) là
A.\(2018\)
B.\(2018.2017\)
C.\({2018^2}\)
D.\(2018.2017.2016\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 3\,\,khi\,\,x \ge 1\\5 - x\,\,\,\,khi\,\,\,x < 1\end{array} \right.\). Tính
\(I = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} + 3\int\limits_0^1 {f\left( {3 - 2x} \right)dx} \).
A.\(I = \dfrac{{32}}{3}\)
B.\(I = 31\)
C.\(I = \dfrac{{71}}{6}\)
D.\(I = 32\)

Gọi \(m,n\) là hai giá trị thực thỏa mãn: giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {{P_m}} \right):mx + 2y + nz + 1 = 0\) và \(\left( {{Q_m}} \right):x - my + nz + 2 = 0\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x - y - 6z + 3 = 0\). Tính \(m + n\).
A.\(m + n = 3\)
B.\(m + n = 2\)
C.\(m + n = 1\)
D.\(m + n = 0\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến