Gọi H là trung điểm của AB, tam giác SAB đều nên \(SH \bot AB\)
Mà \((SAB) \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot (ABCD)\)
Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có:
OA=a, \(\frac{3}{2}a\) \( \Rightarrow AB = \sqrt {O{A^2} + O{B^2}} = a\frac{{\sqrt {13} }}{2}.\)
Tam giác SAB đều cạnh \(\frac{{a\sqrt {13} }}{2}\) nên \(SH = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt {39} }}{4}.\)
Ta có: \(AD//BC \Rightarrow AD//\left( {SBC} \right)\)
Do đó: \(d(AD;SC) = d(AD;(SBC)) = d(A;(SBC)) = 2d(H;(SBC))\)
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên BC, ta có:
\(BC \bot HK\) và \(BC \bot SH\) nên \(BC \bot (SHK)\)
Gọi I là hình chiếu của H trên SK, ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}HI \bot SK\\HI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow HI \bot (SBC).\)
Từ đó suy ra: \(d(AD;SC) = 2d(H;(SBC)) = 2HI\)
Ta có ABCD là hình thoi nên có diện tích \({S_{ABCD}} = \frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{2}2a.3a = 3{a^2}\)
Ta có: \(HK = \frac{{2{S_{HBC}}}}{{BC}} = \frac{{{S_{ABC}}}}{{BC}} = \frac{{{S_{ABCD}}}}{{2BC}} = \frac{{3{a^2}}}{{\frac{{a\sqrt {13} }}{2}}} = \frac{{6a}}{{\sqrt {13} }}\)
Tam giác SHK vuông tại H nên \(HI = \frac{{HS.HK}}{{\sqrt {H{S^2} + H{K^2}} }}\) (bạn tự tính nhé, số liệu đề cho xấu quá nên cho BD=4a thì hay hơn)
