Đáp án:$d(A,(SBD))=\dfrac{{a\sqrt {21} }}{{7}}$
Giải thích các bước giải:
Gọi H là trung điểm của AB
Kẻ HE vuông góc với BD tại E và HF vuông góc với SE tại F.
Ta có:
Do tam giác SAB đều nên $SH\perp AB=H\to SH\perp (ABCD)$
$d(A,(SBD))=2d(H,(SBD))$(1)
Lại có:
$BD\perp HE; BD\perp SH\to BD\perp (SHE) \to BD\perp HF$
Mà $HF\perp SE\to HF\perp (SBD)\to d(H,(SBD))=HF$(2)
Ta có:
$SB=AB=a\to SH=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ và $HE=BH.sin\widehat{HBE}=\dfrac{a}{2}.sin45^o=\dfrac{a\sqrt{2}}{4}$
Suy ra:
$\dfrac{1}{{H{F^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}}\\ \Rightarrow HF = \sqrt {\dfrac{1}{{\dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}}}}} = \sqrt {\dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}}}}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}}$(3)
Từ (1),(2),(3) ta có: $d(A,(SBD))=\dfrac{{a\sqrt {21} }}{{7}}$
Vậy $d(A,(SBD))=\dfrac{{a\sqrt {21} }}{{7}}$
