Đáp án:
$d(C;(SBD))=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Giải thích các bước giải:
Gọi $O$ là tâm của đáy
$\Rightarrow OA = OB = OC = OD =\dfrac{a\sqrt2}{2}$
Trong $mp(SAB)$ kẻ $SH\perp AB$
$\Rightarrow SH =\dfrac{a\sqrt3}{2}$
Ta có:
$\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD)\quad (gt)\\(SAB)\cap (ABCD)= AB\\SH\perp AB\quad \text{(cách dựng)}\\SH\subset (SAB)\end{cases}$
$\Rightarrow SH\perp (ABCD)$
Từ $H$ kẻ $HM\perp BD$
$\Rightarrow HM//OA$
mà $AH = HB =\dfrac12AB$
nên $HM =\dfrac12OA =\dfrac{a\sqrt2}{4}$
Ta có:
$\begin{cases}SH\perp BD\quad (SH\perp (ACBD))\\HM\perp BD \quad \text{(cách dựng)}\end{cases}$
$\Rightarrow BD\perp (SHM)$
Trong $mp(SHM)$ kẻ $HK\perp SM$
$\Rightarrow BD\perp HK$
$\Rightarrow HK\perp (SBD)$
$\Rightarrow HK = d(H;(SBD))$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SHM$ vuông tại $H$ đường cao $HK$ ta được:
$\quad\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{SH^2} +\dfrac{1}{HM^2}$
$\Rightarrow HK =\dfrac{SH.HM}{\sqrt{SH^2 + HM^2}}= \dfrac{\dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt2}{4}}{\sqrt{\dfrac{3a^2}{4} + \dfrac{a^2}{8}}}$
$\Rightarrow HK = \dfrac{a\sqrt{21}}{14}$
Gọi $AI= d(A;(SBD))$
$\Rightarrow AI//HK$
mà $AH = HB =\dfrac12AB$
nên $AI = 2HK = \dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
Mặt khác:
$\quad V_{S.ABD}=V_{S.BCD}= \dfrac12S_{ABCD}$
$\Leftrightarrow \dfrac13S_{SBD}.d(A;(SBD))= \dfrac13S_{SBD}.d(C;(SBD))$
$\Leftrightarrow d(A;(SBD))= d(C;(SBD))$
Vậy $d(C;(SBD))=\dfrac{a\sqrt{21}}{7}$
