Đáp án: $d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}$
Giải thích các bước giải:
Kẻ SE vuông góc AB tại E. Kẻ EN vuông góc với CD tại N. Kẻ EH vuông góc SN tại H.
Ta có:
$\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB$
$(SAB)$ nằm trong mặt phẳn vuông góc với $(ABCD)$ và $SE\perp AB$
Suy ra: $SE\perp (ABCD)$
Lại có:
$d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {E,\left( {SCD} \right)} \right)$(1)
Mà:
$CD\perp SE; CD\perp EN\to CD\perp (SEN)\to CD\perp EH$ và $EH\perp SN$
$\to EH\perp (SCD)\to d\left( {E,\left( {SCD} \right)} \right)=EH$(2)
Từ (1),(2) $\to d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right)=EH$
Ta có:
$\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{E{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{E^2}}} + \dfrac{1}{{E{N^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{7}{{3{a^2}}}\\
\Rightarrow EH = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{7}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\\
\Rightarrow d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}
\end{array}$
Vậy $d\left( {B,\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}$
