a) Ta có: $SA\perp (ABCD) \, (gt)$
$\Rightarrow SA\perp AB$
$\Rightarrow ∆SAB$ vuông tại $A$
Tương tự, ta được: $SA\perp AD$
$\Rightarrow ∆SAD$ vuông tại $A$
$SA\perp AD$
$CD\perp AD$
$\Rightarrow CD\perp (SAD)$
mà $SD ⊂ (SAD)$
$\Rightarrow CD\perp SD$
$\Rightarrow ∆SCD$ vuông tại $D$
$SA\perp BC$
$BC\perp AB$
$\Rightarrow BC\perp (SAB)$
mà $SB ⊂ (SAB)$
$\Rightarrow BC\perp SB$
$\Rightarrow ∆SBC$ vuông tại $B$
Vậy các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b) Ta có:
$SA\perp BD$
$BD\perp AC$
$\Rightarrow BD\perp (SAC)$
mà $SC ⊂ (SAC)$
$\Rightarrow BD\perp SC$
c) Ta có: $SA\perp (ABCD)$
$\Rightarrow AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$
$\Rightarrow \widehat{SCA} = \widehat{(SC;(ABCD))}$
$tan\widehat{SCA} = \dfrac{SA}{AC} = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\Rightarrow \widehat{SCA} = arctan\dfrac{\sqrt{2}}{2} ≈ 35,26^o$
Ta có:
$AB = AD$
$\Rightarrow SD = SB$
$\Rightarrow ∆SBD$ cân tại $S$
mà $OB = OD$
$\Rightarrow SO\perp BD$
Xét $(ABCD)$ và $(SBD)$ có:
$(SBD)\cap (ABCD)=BD$
$SO ⊂ (SBD)$
$SO\perp BD \,(cmt)$
$AC ⊂ (ABCD)$
$AC\perp BD$
$\Rightarrow \widehat{SOA} = \widehat{((SBD);(ABCD))}$
$tan\widehat{SOA} = \dfrac{SA}{OA} = \dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}} = \sqrt{2}$
$\Rightarrow \widehat{SOA} = arctan\sqrt{2} ≈ 54,74^o$
d) Ta có:
$(SCD)\cap (ABCD) = CD$
$AD ⊂ (ABCD)$
$AD\perp CD$
$SD ⊂ (SCD)$
$SD\perp CD$
$\Rightarrow \widehat{SDA} = \widehat{((SCD);(ABCD))}$
$tan\widehat{SDA} = \dfrac{SA}{AD} = \dfrac{a}{a} = 1$
$\Rightarrow \widehat{SDA} = 45^o$
Ta có: $SA\perp (ABCD)$
$\Rightarrow AD$ là hình chiếu của $SD$ lên $(ABCD)$
$AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$
$\Rightarrow ∆ACD$ là hình chiếu của $∆SCD$ lên $(ABCD)$
$\Rightarrow S_{∆ACD} = \dfrac{1}{2}AD.CD = \dfrac{a^2}{2}$
