a)
\(\begin{array}{l}\int {\left( {{x^3} + x - 8} \right)dx} \\ = \int {{x^3}dx} + \int {xdx} - \int {8dx} \\ = \frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^2}}}{2} - 8x + C\end{array}\)
b) Phương trình hoành độ giao điểm
\(\begin{array}{l}\frac{{2x + 1}}{{x + 2}} = - x + m\\ \Rightarrow 2x + 1 = \left( { - x + m} \right)\left( {x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow 2x + 1 = - {x^2} + \left( {m - 2} \right)x + 2m\\ \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m - 4} \right)x - 2m + 1 = 0\left( 1 \right)\end{array}\)
\(\Delta = {\left( {m - 4} \right)^2} - 4\left( { - 2m + 1} \right) = {m^2} + 12 > 0,\forall m\) nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Mà \({\left( { - 2} \right)^2} - \left( {m - 4} \right).\left( { - 2} \right) - 2m + 1 = - 3 \ne 0\) nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -2.
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 4\\{x_1}{x_2} = - 2m + 1\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2} + {{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)}^2}} = 24\\ \Leftrightarrow 2{\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 576\\ \Leftrightarrow x_1^2 - 2{x_1}{x_2} + x_2^2 = 288\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 288\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 4} \right)^2} - 4\left( { - 2m + 1} \right) = 288\\ \Leftrightarrow {m^2} + 8 = 288\\ \Leftrightarrow {m^2} = 280 \Leftrightarrow m = \pm 2\sqrt {70} \end{array}\)
