Đáp án đúng: D

Phương pháp giải:

- Gọi \(J\) là trung điểm của \(AC\), chứng minh \(d\left( {AB;SI} \right) = d\left( {A;\left( {SIJ} \right)} \right)\).
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\). Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH//CM\), trong \(\left( {SAH} \right)\) kẻ \(AK \bot SH\,\left( {K \in SH} \right)\), chứng minh \(AK \bot \left( {SIJ} \right)\).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.Giải chi tiết:
Gọi \(J\) là trung điểm của \(AC\) ta có \(IJ//AB \Rightarrow AB//\left( {SIJ} \right) \supset SI\)
\( \Rightarrow d\left( {AB;SI} \right) = d\left( {AB;\left( {SIJ} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SIJ} \right)} \right)\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), vì \(\Delta ABC\) đều nên \(CM \bot AB \Rightarrow CM \bot IJ\).
Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH//CM \Rightarrow AH \bot IJ\) \(\left( {H \in IJ} \right)\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}IJ \bot AH\\IJ \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow IJ \bot \left( {SAH} \right)\).
Trong \(\left( {SAH} \right)\) kẻ \(AK \bot SH\,\left( {K \in SH} \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AK \bot SH\\AK \bot IJ\,\,\left( {do\,\,IJ \bot \left( {SAH} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AK \bot \left( {SIJ} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SIJ} \right)} \right) = AK\).
Dễ dàng chứng minh được \(AH = \dfrac{1}{2}CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAH\): \(AK = \dfrac{{SH.AH}}{{\sqrt {S{H^2} + A{H^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}} }} = \dfrac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\).
Vậy \(d\left( {AB;SI} \right) = \dfrac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\).
Chọn D