Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:
Đặt \(\dfrac{{SI}}{{SA}} = x\,\,\left( {0 < x < 1} \right)\).
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kéo dài \(MN\) cắt \(AD,\,\,CD\) lần lượt tại \(P,\,\,Q\).
Trong \(\left( {SAD} \right)\) kéo dài \(PI\) cắt \(SD\) tại \(E\).
Trong \(\left( {SCD} \right)\) nối \(QE\) cắt \(SC\) tại \(J\).
Khi đó \(\left( {IMN} \right)\) cắt hình chóp theo thiết diện là \(IMNJE\).
Mặt phẳng \(\left( {IMN} \right)\) chia khối chóp thành hai phần, gọi \({V_1}\) là phần thể tích chứa đỉnh \(S\) và \(V = {V_{S.ABCD}}\).
Khi đó ta có \(\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{7}{{20}}\).
Ta có: \({V_1} = {V_{S.BMN}} + {V_{S.MNI}} + {V_{S.INJ}} + {V_{IJE}}\).
+) \(\dfrac{{{V_{S.BMN}}}}{V} = \dfrac{{{S_{BMN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{BM}}{{BA}}.\dfrac{{BN}}{{BC}} = \dfrac{1}{8}\) \( \Rightarrow {V_{S.BMN}} = \dfrac{V}{8}\).
+) \(\dfrac{{{V_{S.MNI}}}}{{{V_{S.MNA}}}} = \dfrac{{SI}}{{SA}} = x \Rightarrow {V_{S.MNI}} = x{V_{S.MNA}}\)
    \(\dfrac{{{V_{S.MNA}}}}{V} = \dfrac{{{S_{MNA}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}{S_{ABN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{8} \Rightarrow {V_{S.MNA}} = \dfrac{1}{8}V\)
\( \Rightarrow {V_{S.MNI}} = \dfrac{x}{8}V\).
+) \(\dfrac{{{V_{S.INJ}}}}{{{V_{S.ANC}}}} = \dfrac{{SI}}{{SA}}.\dfrac{{SJ}}{{SC}}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {IMN} \right) \cap \left( {SAC} \right) = IJ\\\left( {IMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = MN\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AC\end{array} \right.\), lại có \(MN//AC\) (do \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\))
\( \Rightarrow IJ//MN\) \( \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SA}} = \dfrac{{SJ}}{{SC}} = x\).
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.INJ}}}}{{{V_{S.ANC}}}} = \dfrac{{SI}}{{SA}}.\dfrac{{SJ}}{{SC}} = {x^2} \Rightarrow {V_{S.INJ}} = {x^2}{V_{S.ANC}}\).
\(\dfrac{{{V_{S.ANC}}}}{V} = \dfrac{{{S_{ANC}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}{S_{ABC}}}}{{ABCD}} = \dfrac{1}{4}\)
\( \Rightarrow {V_{S.INJ}} = \dfrac{{{x^2}}}{4}V\).
+) \(\dfrac{{{V_{S.IJE}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = \dfrac{{SI}}{{SA}}.\dfrac{{SJ}}{{SC}}.\dfrac{{SE}}{{SD}} = {x^2}\dfrac{{SE}}{{SD}}\).
Dễ dàng chứng minh được \(\Delta BMN = \Delta CQN\,\,\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow BM = CQ = \dfrac{1}{2}CD\).
\( \Rightarrow DQ = 3CQ = 3AM\) \( \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{DQ}} = \dfrac{{PA}}{{PD}} = \dfrac{1}{3}\).
Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác \(SAD\) ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{PA}}{{PD}}.\dfrac{{ED}}{{ES}}.\dfrac{{IS}}{{IA}} = 1 \Rightarrow \dfrac{1}{3}.\dfrac{{ED}}{{ES}}.\dfrac{x}{{1 - x}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{ED}}{{ES}} = \dfrac{{3\left( {1 - x} \right)}}{x}\\ \Rightarrow \dfrac{{ED + ES}}{{ES}} = \dfrac{{3 - 2x}}{x} \Rightarrow \dfrac{{SE}}{{SD}} = \dfrac{x}{{3 - 2x}}\end{array}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.IJE}}}}{{{V_{S.ACD}}}} = {x^2}\dfrac{{SE}}{{SD}} = {x^2}.\dfrac{x}{{3 - 2x}} = \dfrac{{{x^3}}}{{3 - 2x}}\).
Mà \({V_{S.ACD}} = \dfrac{1}{2}V\) \( \Rightarrow {V_{S.IJE}} = \dfrac{{{x^3}}}{{6 - 4x}}V\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}{V_1} = {V_{S.BMN}} + {V_{S.MNI}} + {V_{S.INJ}} + {V_{IJE}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{V}{8} + \dfrac{x}{8}V + \dfrac{{{x^2}}}{4}V + \dfrac{{{x^3}}}{{6 - 4x}}V\\\,\,\,\,\, = \left( {\dfrac{1}{8} + \dfrac{x}{8} + \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{{6 - 4x}}} \right)V\\ \Rightarrow \dfrac{1}{8} + \dfrac{x}{8} + \dfrac{{{x^2}}}{4} + \dfrac{{{x^3}}}{{6 - 4x}} = \dfrac{7}{{20}}\end{array}\)
Thử đáp án:
Đáp án A: \(k = \dfrac{{IA}}{{IS}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x = \dfrac{{SI}}{{SA}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow \) Loại.
Đáp án B: \(k = \dfrac{{IA}}{{IS}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow \dfrac{{SI}}{{SA}} = \dfrac{3}{5}\) \( \Rightarrow \) Thỏa mãn.
Chọn B.