Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
- Dựng \(HK \bot CD\,\,\,\left( {K \in CD} \right)\). Gọi \(I\) là điểm đối xứng \(H\) qua \(K\). Chứng minh \(d\left( {SD;HC} \right) = d\left( {H;\left( {SDI} \right)} \right)\).
- Trong \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ \(HE \bot DI\,\,\,\left( {E \in DI} \right)\), trong \(\left( {SHE} \right)\) kẻ \(HF \bot SE\) \(\left( {F \in SE} \right)\). Chứng minh \(d\left( {H;\left( {SDI} \right)} \right) = HF\)
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(SH,\,\,HE\).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(HF\).
Giải chi tiết:Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),\,SH \bot AB\end{array} \right.\,\,\,\, \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Dựng \(HK \bot CD\,\,\,\left( {K \in CD} \right)\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HK\\CD \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow CD \bot SK\).
Gọi \(I\) là điểm đối xứng \(H\) qua \(K\).
Dễ dàng chứng minh \(\Delta CKH = \Delta DKI\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle CHK = \angle DIK\) (hai góc tương ứng).
Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong \( \Rightarrow DI\parallel HC \Rightarrow HC\parallel \left( {SDI} \right)\)\( \Rightarrow d\left( {HC;SD} \right) = d\left( {HC;\left( {SID} \right)} \right) = d\left( {H;\left( {SID} \right)} \right)\).
Trong \(\left( {ABCD} \right)\), kẻ \(HE \bot DI\,\,\,\left( {E \in DI} \right)\), trong \(\left( {SHE} \right)\) kẻ \(HF \bot SE\) \(\left( {F \in SE} \right)\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}DI \bot HE\\DI \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow DI \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow DI \bot HF\\\left\{ \begin{array}{l}HF \bot SE\\HF \bot DI\end{array} \right. \Rightarrow HF \bot \left( {SCD} \right)\\ \Rightarrow d\left( {H;\left( {SID} \right)} \right) = HF = d\left( {HC;SD} \right)\end{array}\)
+) Tính HE:
Xét \(\Delta DKI\) vuông tại \(K\) có: \(\sin \angle I = \dfrac{{DK}}{{DI}} = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt {10} }}\).
Xét \(\Delta HIE\) vuông tại \(E\) có: \(HE = HI.\sin \angle I = 6a.\dfrac{1}{{\sqrt {10} }} = \dfrac{{3a\sqrt {10} }}{5}\).
+) Tính \(SH\):
Khi đó ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\HK \subset \left( {ABCD} \right),\,\,HK \bot CD\\SK \subset \left( {SCD} \right),\,\,SK \bot CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {HK;SK} \right) = \angle SKH = {45^0}\).
\( \Rightarrow \Delta SHK\) vuông cân tại \(H\) \( \Rightarrow SH = HK = AD = 3a\).
+) Tính \(HF\):
Tam giác \(SHE\) vuông tại \(H\), \(HF\) là đường cao.
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{H{F^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}} = \dfrac{1}{{9{a^2}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{18}}{5}{a^2}}} = \dfrac{7}{{18{a^2}}} \Rightarrow HF = \dfrac{{3a\sqrt {14} }}{7}\).
Vậy \(d\left( {SD;HC} \right) = \dfrac{{3\sqrt {14} a}}{7}\).
Chọn C.
