Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Ta có: \(AD//BC\) \( \Rightarrow AD//\left( {SBC} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {AD,\,\,SC} \right) = d\left( {AD,\,\,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A;\,\,\left( {SBC} \right)} \right)\)
Ta có: \(\dfrac{{HB}}{{AB}} = \dfrac{{d\left( {H;\,\,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\,\,\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow d\left( {A;\,\,\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\,\,\left( {SBC} \right)} \right)\)
Kẻ \(HK \bot SB\)\( \Rightarrow d\left( {H;\,\,\left( {SBC} \right)} \right) = HK\)Giải chi tiết:
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
Ta có: \(AD//BC\) \( \Rightarrow AD//\left( {SBC} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {AD,\,\,SC} \right) = d\left( {AD,\,\,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A;\,\,\left( {SBC} \right)} \right)\)
Ta có: \(\dfrac{{HB}}{{AB}} = \dfrac{{d\left( {H;\,\,\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\,\,\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow d\left( {A;\,\,\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\,\,\left( {SBC} \right)} \right)\)
Kẻ \(HK \bot SB\)
Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow SH \bot AB\)
Lại có: \(AB \bot BC\,\,\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow AB \bot \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {H;\,\,\left( {SBC} \right)} \right) = HK\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\dfrac{{AB}}{2}} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {a\sqrt 5 } \right)}^2} - {a^2}} = 2a.\end{array}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta SHB\) vuông tại \(H,\) có đường cao \(HK\) ta có:
\(\begin{array}{l}HK = \dfrac{{SH.BH}}{{\sqrt {S{H^2} + B{H^2}} }} = \dfrac{{2a.a}}{{\sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }} = \dfrac{{2a\sqrt 5 }}{5}\\ \Rightarrow d\left( {A;\,\,\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {H;\,\,\left( {SBC} \right)} \right) = 2HK = \dfrac{{4a\sqrt 5 }}{5}.\end{array}\)
Chọn C.
