Đáp án:
a) $\widehat{(SD;(ABCD))}=\arctan\left(\dfrac{3\sqrt5}{5}\right)$
b) $d(M;(SAD))= \dfrac{6a\sqrt{13}}{13}$
Giải thích các bước giải:
a) Ta có:
$SM\perp (ABCD)\quad (gt)$
$\Rightarrow M$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$
$\Rightarrow MD$ là hình chiếu của $SD$ lên $(ABCD)$
$\Rightarrow \widehat{(SD;(ABCD))}=\widehat{SDM}$
Xét $\triangle SDM$ vuông tại $M$ có:
$\quad \tan\widehat{SDM}=\dfrac{SM}{DM}$
$\Leftrightarrow \tan\widehat{SDM}=\dfrac{SM}{\sqrt{CD^2 + CM^2}}$
$\Leftrightarrow \tan\widehat{SDM}=\dfrac{3a}{\sqrt{4a^2 + a^2}}$
$\Leftrightarrow \tan\widehat{SDM}=\dfrac{3\sqrt5}{5}$
$\Rightarrow \widehat{SDM}=\arctan\left(\dfrac{3\sqrt5}{5}\right)$
Vậy $\widehat{(SD;(ABCD))}=\arctan\left(\dfrac{3\sqrt5}{5}\right)$
b) Ta có:
$\begin{cases}BM = MC =\dfrac12BC\\AN = ND =\dfrac12AD\end{cases}\quad (gt)$
$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của hình vuông $ABCD$
$\Rightarrow \begin{cases}MN//AB//C\\MN = AB = CD = 2a\end{cases}$
$\Rightarrow MN\perp AD$
Ta được:
$\begin{cases}SM\perp AD\quad (SM\perp (ABCD))\\MN\perp AD\quad (cmt)\\SM\cap MN=\{M\}\end{cases}$
$\Rightarrow AD\perp (SMN)$
Trong $mp(SMN)$ kẻ $MH\perp SN$
Khi đó:
$\begin{cases}AD\perp MH\quad (AD\perp (SMN))\\AH\perp SN\quad \text{(cách dựng)}\\AD\cap SN=\{N\}\end{cases}$
$\Rightarrow MH\perp (SAD)$
$\Rightarrow MH = d(M;(SAD))$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SMN$ vuông tại $M$, đường cao $MH$ ta được:
$\quad \dfrac{1}{MH^2}=\dfrac{1}{SM^2} +\dfrac{1}{MN^2}$
$\Rightarrow MH =\dfrac{SM.MN}{\sqrt{SM^2 + MN^2}}$
$\Rightarrow MH =\dfrac{3a.2a}{\sqrt{9a^2 + 4a^2}}$
$\Rightarrow MH =\dfrac{6a\sqrt{13}}{13}$
Vậy $d(M;(SAD))= \dfrac{6a\sqrt{13}}{13}$
