1. Gọi H là giao điểm của AB và CD.
Ta có: N ∈ (ABN), N ∈ (SCD) (Do N ∈ SC)
H ∈ (ABN), H ∈ (SCD) (H ∈ AB, H ∈ CD)
Suy ra: NH ⊂ (ABN), NH ⊂ (SCD)
Hay NH là giao tuyến của (ABN) và (SCD)
2. Gọi P là giao điểm của DN và SH
Vì S ∈ (SAB), H ∈ (SAB) (H ∈ AB)
Nên P ∈ (SAB) hay P là giao điểm của DN và (SAB).
Xét tam giác SHC có đường thẳng PD cắt 3 cạnh của tam giác tại P, N, D
Áp dụng định lý Menelaus ta có:
Theo bài ra: AD = 2.AC ⇒ DH = 2.DC (Dễ chứng minh)
NS = 2.NC
Từ các giả thiết trên suy ra: PS = PH hay P là trung điểm của SH.
Gọi K là giao điểm của HN với SD trong mặt phẳng (SCD)
Chứng minh tương tự ta được: K là trung điểm của SD.
Vậy PK là đường trung bình thuộc cạnh HD của tam giác SHD.
Do đó: PK//CD và PK = $\frac{1}{2}$ .HD
Theo định lý Talet cho hình thang PKDH:
$\frac{PK}{HD}$ = $\frac{PN}{ND}$
Suy ra: $\frac{PN}{ND}$ = $\frac{1}{2}$
