Đáp án:
$d(D;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt6}{3}$
Giải thích các bước giải:
$ABCD$ là hình vuông cạnh $a$
$\Rightarrow AC = BD = a\sqrt2$
Áp dụng định lý Pytago ta được:
$\quad SC^2 = SA^2 + AC^2$
$\Rightarrow SA = \sqrt{SC^2 - AC^2} = \sqrt{4a^2 - 2a^2}$
$\Rightarrow SA= a\sqrt2$
Ta có:
$\begin{cases}BC\perp AB\\SA\perp BC\end{cases}$
$\Rightarrow BC\perp (SAB)$
Trong $mp(SAB)$ kẻ $AH\perp SB$
$\Rightarrow BC\perp AH$
$\Rightarrow AH\perp (SBC)$
$\Rightarrow AH = d(A;(SBC))$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$\quad \dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AB^2}$
$\Rightarrow AH =\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2 + AB^2}} = \dfrac{a\sqrt2.a}{\sqrt{2a^2 + a^2}}$
$\Rightarrow AH = \dfrac{a\sqrt6}{3}$
Mặt khác:
$AD//BC$
$\Rightarrow AD//(SBC)$
$\Rightarrow d(D;(SBC)) = d(A;(SBC)) = AH = \dfrac{a\sqrt6}{3}$
Vậy $d(D;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt6}{3}$
