Đáp án:
$D.\ \dfrac{a^3}{24}$
Giải thích các bước giải:
Đặt hình chóp tam giác đều là $S.ABC$ có đáy là $\triangle ABC$ đều cạnh $a$
Gọi $O$ là tâm của $\triangle ABC$ và $M$ là trung điểm $AB$
$\Rightarrow \begin{cases}SO\perp (ABC)\\OM\perp AB\\OM=\dfrac{a\sqrt3}{6}\end{cases}$
Ta có:
$\begin{cases}SO\perp AB\quad (SO\perp (ABC))\\OM\perp AB\quad (cmt)\end{cases}$
$\Rightarrow AB\perp (SOM)$
$\Rightarrow AB\perp SM$
Khi đó:
$\begin{cases}(SAB)\cap (ABC) =AB\\OM\perp AB\quad (cmt)\\OM\subset (ABC)\\SM\perp AB\quad (cmt)\\SM\subset (SAB)\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{((SAB);(ABC))} = \widehat{SMO} = 45^\circ$
$\Rightarrow SO = OM.\tan45^\circ = \dfrac{a\sqrt3}{6}$
Ta được:
$V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}.SO$
$\Leftrightarrow V_{S.ABC} = \dfrac13\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{6}$
$\Leftrightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{a^3}{24}$
