Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh bằng \(a\) và \(SA \bot \left( {ABCD} \right).\) Biết \(SA = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Tính góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right).\) A.\({60^0}.\) B.\({45^0}.\) C.\({30^0}.\) D.\({90^0}.\)
Phương pháp giải: - Góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và hình chiếu của SC lên (ABCD). - Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc. Giải chi tiết: Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên AC là hình chiếu của SC lên (ABCD). \( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA\). Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SA \bot AC\), do đó tam giác SAC vuông tại A. Ta có: ABCD là hình vuông cạnh a nên \(AC = a\sqrt 2 \). Xét tam giác vuông SAC có: \(\tan \angle SCA = \dfrac{{SA}}{{AC}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}:a\sqrt 2 = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\)\( \Rightarrow \angle SCA = {30^0}\) Vậy góc giữa SC và (ABCD) bằng \({30^0}\). \(MN = \sqrt {M{P^2} + N{P^2}} = \sqrt {\dfrac{{9{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{2}\). Chọn C.