Đáp án:$\frac{{{a^3}}}{4}$
Giải thích các bước giải:
Gọi I là tâm hình thoi ABCD, H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD)
DO SA=SB=SC=a, nên H sẽ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
=> H thuộc BI
$\begin{array}{l}
S{I^2} = S{A^2} - I{A^2} = {a^2} - I{A^2}\\
I{B^2} = A{B^2} - I{A^2} = {a^2} - I{A^2}\\
\Rightarrow SI = IB\\
\Rightarrow \Delta SBD\,vuông\,tại\,S\\
G/s :SD = x\\
+ )Có:SB.SD = SH.BD\\
\Rightarrow a.x = SH.BD \Rightarrow SH = \frac{{a.x}}{{BD}}\\
+ )Có:{V_{SABCD}} = \frac{1}{3}.SH.\frac{1}{2}.AC.BD = \frac{1}{3}.\frac{{a.x}}{{BD}}.\frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{6}a.x.AC\\
B{D^2} = S{B^2} + S{D^2} = {a^2} + {x^2}\\
\Rightarrow I{B^2} = \frac{{{a^2} + {x^2}}}{4} \Rightarrow I{A^2} = {a^2} - \frac{{{a^2} + {x^2}}}{4} = \frac{{3{a^2} - {x^2}}}{4}\\
\Rightarrow AC = 2IA = 2\sqrt {\frac{{3{a^2} - {x^2}}}{4}} = \sqrt {3{a^2} - {x^2}} \\
\Rightarrow {V_{SABCD}} = \frac{1}{6}a.x.\sqrt {3{a^2} - {x^2}} \le \frac{a}{6}.\frac{{{x^2} + 3{a^2} - {x^2}}}{2} = \frac{{{a^3}}}{4}
\end{array}$
