Đáp án:
$d(AB;SC)= \dfrac{2a\sqrt3}{5}$
Giải thích các bước giải:
$ABCD$ là hình thoi tâm $O$ cạnh $a$ có:
$\widehat{BAD}= 60^\circ$
$\Rightarrow \triangle ABD;\ BCD$ đều cạnh $a$
$\Rightarrow BD = a$
$\Rightarrow \begin{cases}OB = OD = \dfrac a2\\OH = HB =\dfrac a4\\HD = \dfrac{3a}{4}\end{cases}$
Từ $H$ kẻ $HM\perp CD$
Lại có: $SH\perp CD\quad (SH\perp (ABCD))$
$\Rightarrow CD\perp (SHM)$
Gọi $BN$ là chiều cao của $\triangle BCD$
$\Rightarrow BN = \dfrac{a\sqrt3}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{HM}{BN}=\dfrac{DH}{DB}\quad (Theo\ Thales)$
$\Rightarrow HM =\dfrac{DH.BN}{BD}=\dfrac{\dfrac{3a}{4}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}}{a}= \dfrac{3a\sqrt3}{8}$
Trong $mp(SHM)$ kẻ $HK\perp SM$
$\Rightarrow CD\perp HK$
$\Rightarrow HK\perp (SCD)$
$\Rightarrow HK = d(H;(SCD))$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SHM$ vuông tại $H$ đường cao $HK$ ta được:
$\dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{SH^2} +\dfrac{1}{HM^2}$
$\Rightarrow HK =\dfrac{SH.HM}{\sqrt{SH^2 + HM^2}}$
$\Rightarrow HK =\dfrac{\dfrac{a\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{3a\sqrt3}{8}}{\sqrt{\dfrac{3a^2}{4} + \dfrac{27a^2}{64}}}$
$\Rightarrow HK = \dfrac{3a\sqrt3}{10}$
Gọi $BI = d(B;(SCD))$
$\Rightarrow \dfrac{HK}{BI}=\dfrac{DH}{BD}\quad (Theo\ Thales)$
$\Rightarrow BI = \dfrac{HK.BD}{DH}=\dfrac{\dfrac{3a\sqrt3}{10}\cdot a}{\dfrac{3a}{4}}= \dfrac{2a\sqrt3}{5}$
Mặt khác:
$AB//CD$
$\Rightarrow AB//(SCD)$
$\Rightarrow d(AB;SC)= d(AB;(SCD))= d(B;(SCD)) = BI$
$\Rightarrow d(AB;SC)= \dfrac{2a\sqrt3}{5}$
