Đáp án:
a) \(R = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
b) \(S = \dfrac{{8\pi {a^2}}}{3}\).
\(V = \dfrac{{8\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{27}}\)
Giải thích các bước giải:
a) Gọi E là tâm hình vuông ABCD \( \Rightarrow EC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}a\sqrt 2 = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Tam giác \(SEC\) vuông tại E có \(\widehat C = {60^0} \Rightarrow SE = EC\tan 60 = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
\( \Rightarrow SC = \sqrt {S{E^2} + E{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = a\sqrt 2 \)
Gọi M là trung điểm của SC, mặt phẳng trung trực của SC cắt SE tại O.
Khi đó O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
\(\Delta SMO \sim \Delta SEC \Rightarrow \dfrac{{SM}}{{SE}} = \dfrac{{SO}}{{SC}}\) \( \Rightarrow SO = \dfrac{{SM.SC}}{{SE}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 }}{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Vậy bán kính \(R = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
b) Diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)^2} = \dfrac{{8\pi {a^2}}}{3}\)
Thể tích khối cầu \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)^3} = \dfrac{{8\pi {a^3}\sqrt 6 }}{{27}}\)
