Vì S.ABCD là hình chóp đều nên đường cao SO của hình chóp cũng chính là trục của đa giác đáy
Xét ΔBCD vuông cân tại C có BC = CD = a
⇒ BD = $\sqrt[]{BC² + CD²}$ = a$\sqrt[]{2}$
⇒ BO = $\frac{1}{2}$.BD = $\frac{a\sqrt[]{2}}{2}$
Xét ΔSOB vuông tại O có SB = 2a , BO = $\frac{a\sqrt[]{2}}{2}$
⇒ SO = $\sqrt[]{SB² - BO²}$ = $\frac{a\sqrt[]{14}}{2}$
Trong mp (SOB), ta vẽ trung trực của SB, đường này cắt SO tại I. Rõ ràng I là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD
Gọi M là trung điểm của SB
⇒ SM = $\frac{1}{2}$.SB = a
ΔSMI ~ ΔSOB (g.g) nên ta có $\frac{SI}{SB}$ = $\frac{SM}{SO}$
⇒ SI = $\frac{SB.SM}{SO}$ = $\frac{2a.a}{\frac{a\sqrt[]{14}}{2}}$ = $\frac{2a\sqrt[]{14}}{7}$
Vì SI chính là bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD nên ta có
$V_{khối.cầu.ngoại.tiếp.hình.chóp}$ = $\frac{4}{3}$. $\pi$ .SI³ = $\frac{64\pi\sqrt[]{14}}{147}$
