a) Xét $\Delta NOB$ và $\Delta MOD$ có:
$\widehat{NOB}=\widehat{MOD}$ (đối đỉnh)
$OB=OD$
$\widehat{NBO}=\widehat{MDO}$ (so le trong)
$\Rightarrow \Delta NOB=\Delta MOD$
$\Rightarrow NB=MD$ mà $NB\parallel MD$
$\Rightarrow BNDM$ là hình bình hành (tứ giác có 1 cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau)
b) Ta có $\widehat{M_1}=\widehat{C_1}$ (đồng vị)
$\widehat{C_1}=\widehat{A_1}$ (so le trong)
$\widehat{A_1}=\widehat{N_1}$ (đồng vị)
Từ 3 điều trên theo tính chất bắc cầu
$\Rightarrow \widehat{M_1}=\widehat{N_1}$
Lại có $DM=BN$ (do $\Delta NOB=\Delta MOD$ chứng minh ở trên)
$\Rightarrow \Delta $ vuông $EDM=\Delta $ vuông $FBN$ (Cạnh góc vuông. góc nhọn kề)
$\Rightarrow EM=NF$ (hai cạnh tương ứng)
Mà $EM\parallel NF$ ($\parallel AC$)
$\Rightarrow MENF$ là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
c) Tứ giác $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow AC\cap BD=O$ khi đó $O$ là trung điểm $AC,BD$
Tứ giác $BNDM$ là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Có $O$ là trung điểm của $BD\Rightarrow O$ là trung điểm của $MN$
Tương tự $MENF$ là hình bình hành có $O$ là trung điểm $MN$
$\Rightarrow O$ là trung điểm $EF$
Suy ra $AC, MN,EF$ đồng quy tại $O$ là trung điểm mỗi đường.
d) Do $NF\parallel AC\Rightarrow IF\parallel OC\Rightarrow \dfrac{IF}{OC}=\dfrac{BI}{BO}$
$NI\parallel AO\Rightarrow\dfrac{NI}{AO}=\dfrac{BI}{BO}$
Từ 2 điều trên theo tính chất bắt cầu suy ra
$\dfrac{IF}{OC}=\dfrac{NI}{AO}$ mà $OC=AO$
$\Rightarrow IF=NI$
$\Rightarrow I$ là trung điểm $NF$.
