Gọi $E, \, F$ là các điểm trên $AD$ sao cho $AE = EF = FD = \dfrac{AD}{3}$
Từ $E, \, F$ kẻ các đường thẳng song song với $AB$ cắt $AP$ tại $I, \, H$
$\Rightarrow AI = IH = IP = \dfrac{AP}{3}$
Kẻ $AQ\perp AP$ cắt $BC$ tại $Q$
Xét $ΔABQ$ và $ΔAEI$ có:
$\widehat{B} = \widehat{E} = 90^o$
$AB = AE = \dfrac{1}{3}AD$
$\widehat{BAQ} = \widehat{IAE}$ (cùng phụ $\widehat{BAI}$)
Do đó $ΔABQ = ΔAEI$ (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
$\Rightarrow AQ = AI = \dfrac{AP}{3}$
Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔAQM$ vuông tại $A$, đường cao $AB$ ta được:
$\dfrac{1}{AB^2} = \dfrac{1}{AM^2} + \dfrac{1}{AQ^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{AB^2} = \dfrac{1}{AM^2} + \dfrac{1}{(\dfrac{AP}{3})^2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{AB^2} = \dfrac{1}{AM^2} + \dfrac{1}{\dfrac{AP^2}{9}}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{AB^2} = \dfrac{1}{AM^2} + \dfrac{9}{AP^2}$
