Giải thích các bước giải:
a.Ta có $BH\perp AC\to\widehat{AHB}=\widehat{CHB}=90^o$
Mà $\widehat{HBA}=90^o-\widehat{HBC}=\widehat{HCB}$
$\to\Delta HAB\sim\Delta HBC(g.g)$
$\to\dfrac{HA}{HB}=\dfrac{HB}{HC}$
$\to HB^2=HA.HC$
b.Ta có $HE\perp BE, HF\perp BF, BE\perp BF\to HEBF$ là hình chữ nhật
Lại có $\Delta HAE$ vuông tại $E, M$ là trung điểm $AH$
$\to \widehat{MEF}=\widehat{MEH}+\widehat{MHE}$
$\to \widehat{MEF}=\widehat{MHE}+\widehat{EHB}$
$\to\widehat{MEF}=\widehat{MHB}=90^o$
$\to ME\perp EF$
c.Ta có $AC^2=AB^2+BC^2=100\to AC=10$
Mà $BH.AC=AB.BC(=2S_{ABC})$
$\to BH=\dfrac{AB.BC}{AC}=\dfrac{24}{5}$
$\to EF=BH=\dfrac{24}{5}$ vì $HEBF$ là hình chữ nhật
Mà $\widehat{EFB}=\widehat{HBF}=90^o-\widehat{HBE}=\widehat{HAB}$
$\to \widehat{EFB}=\widehat{BAC}$
Kết hợp $\widehat{EBF}=\widehat{ABC}$
$\to\Delta BEF\sim\Delta BCA(g.g)$
$\to \dfrac{S_{BEF}}{S_{ABC}}=(\dfrac{EF}{AC})^2=\dfrac{144}{625}$
$\to \dfrac{S_{ABC}-S_{BEF}}{S_{ABC}}=\dfrac{625-144}{625}$
$\to \dfrac{S_{ACEF}}{S_{ABC}}=\dfrac{481}{625}$
$\to S_{ACEF}=\dfrac{481}{625}S_{ABC}$
$\to S_{ACEF}=\dfrac{481}{625}\cdot \dfrac12 AB\cdot AC$
$\to S_{ACEF}=\dfrac{11544}{625}$
d.Gọi $G$ là trung điểm $HB$
$\to MG$ là đường trugn bình $\Delta HAB$
$\to MG//AB, MG=\dfrac12AB\to MG//CD, MG=\dfrac12CD=CN$
$\to MNCG$ là hình bình hành $\to MN//CG$
Ta có $MG//AB\to MG\perp BC$
Lại có $BH\perp AC\to BH\perp MC$
$\to G$ là trực tâm $\Delta BCM$
$\to CG\perp MB$
$\to MN\perp MB$
