a) Do $I$ là trung điểm cạnh $AH$
và $M$ là trung điểm cạnh $HB$
Nên $IM$ là đường trung bình $\Delta ABH$
$\Rightarrow IM\parallel AB$
$\Rightarrow ABMI$ là hình thang
b) $IM$ là đường trung bình $\Delta ABH$ (chứng minh câu a)
$\Rightarrow IM=\dfrac{1}{2}AB$
Mà $E$ là trung điểm cạnh $DC$
$\Rightarrow $ $EC=\dfrac{1}{2}DC=\dfrac{1}{2}AB$ (do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB=DC$)
$\Rightarrow IM=EC$ mà $IM\parallel EC$
$\Rightarrow IMCE$ là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối xứng song song và bằng nhau)
c) Tứ giác $IM\parallel EC$ mà $EC\bot BC$
$\Rightarrow IM\bot BC$
Ta có: $\Delta IBC$ có $IM\bot BC$ và $BH\bot IC$
$IM$ và $BH$ là hai đường cao
$\Rightarrow IM\cap BH=M\Rightarrow M$ là trực tâm của $\Delta IBC$ (đpcm)
$\Delta AIC$ có $M$ là trực tâm $\Rightarrow CM\bot IB$
mà $IE\parallel CM$ (do $IMCE$ là hình bình hành)
$\Rightarrow IE\bot IB\Rightarrow \Delta IEB\bot I$
Có $G$ là trung điểm cạnh huyền $EB$
$\Rightarrow IG=\dfrac{1}{2}EB$
$\Delta BCE\bot C$ có $G$ là trung điểm cạnh huyền $EB\Rightarrow CG=\dfrac{1}{2}EB$
$\Rightarrow ID=CG(=\dfrac{1}{2}EB)$
$\Rightarrow \Delta ICG$ cân đỉnh $G$
d) Ta có $BK=AC$ mà $AC=BD$
$\Rightarrow BK=BD\Rightarrow \Delta BDK$ cân tại $K$
$\Rightarrow \widehat{BDK}=\widehat{BKD}$ (*)
Dựng $Kx\bot DC$ và $Kx\cap DC=Q$
$\Rightarrow Kx\parallel BC$ (vì cùng $\bot DC$)
$\Rightarrow \widehat{K_1}=\widehat{B_1}$ (so le trong)
Mà $\widehat{B_1}=\widehat{C_1}$ (cùng phụ $\widehat{HCB}$)
$\widehat{C_1}=\widehat{D_1}$
Từ 3 điều trên suy ra $\widehat{K_1}=\widehat{D_1}$ (**)
Ta có: $\widehat{QDK}=\widehat{BDK}-\widehat{D_1}$
$\widehat{QKD}=\widehat{BKD}-\widehat{K_1}$
Từ (*) và (**) suy ra
$\widehat{QDK}=\widehat{QKD}$
Mà $\Delta QDK$ vuông đỉnh $Q$
$\Rightarrow \Delta QDK$ vuông cân đỉnh $Q$
$\Rightarrow \widehat{QDK}=45^o$.
