Gọi $MN\cap AB = \left\{H\right\}$
Xét $ΔAHO$ và $ΔCNO$ có:
$\widehat{AOH} = \widehat{CON}$ (đối đỉnh)
$\widehat{OAH} = \widehat{OCN}$ (so le trong)
$OA = OC$ (tính chất hình bình hành)
Do đó $ΔAHO = ΔCNO\, (g.c.g)$
$\Rightarrow OH = ON\quad (1)$
Ta có:
$OA = OC;\, BF = FC$
$\Rightarrow OF//AB;\, OF=\dfrac{1}{2}AB$ (đường trung bình)
Gọi $K$ là trung điểm $AD$
$\Rightarrow AK = KD$
mà $OB = OD$
$\Rightarrow OK//AB;\, OK = \dfrac{1}{2}AB$ (đường trung bình)
$\Rightarrow OK = OF=\dfrac12KF\quad (2)$
$(1)(2)\Rightarrow NKHF$ là hình bình hành
$\Rightarrow KH//NF\qquad (*)$
Mặt khác:
$AE = EB = \dfrac{1}{2}AB\quad (gt)$
$AK = KD = \dfrac{1}{2}AD\quad$ (cách dựng)
$\Rightarrow EK$ là đường trung bình của $ΔABD$
$\Rightarrow EK//BD$
mà $MN\perp BD\quad (gt)$
$\Rightarrow MN\perp EK$
hay $MH\perp EK$
Ta lại có: $EH\perp MK\quad (AB\perp AM)$
$\Rightarrow H$ là trực tâm $ΔMEK$
$\Rightarrow KH\perp ME\qquad (**)$
$(*)(**)\Rightarrow NF\perp ME$
