a)
Xét tứ giác $BDEF$, ta có:
$C$ là trung điểm của $BE$ (vì $E$ đối xứng $B$ qua $C$)
$C$ là trung điểm của $DF$ (vì $F$ đối xứng $D$ qua $C$)
Nên tứ giác $BDEF$ là hình bình hành
Lại có $BE\bot DF$ tại $C$ (vì $ABCD$ là hình chữ nhật)
Vậy $BDEF$ là hình thoi
b)
Ta có $AC=BD$ (vì $ABCD$ là hình chữ nhật)
Mà $BD=DE$ (vì $BDEF$ là hình thoi)
Vậy $AC=DE$
c)
Ta có $AD=BC$ (vì $ABCD$ là hình chữ nhật)
Mà $BC=CE$ (vì $E$ đối xứng $B$ qua $C$)
Nên $AD=CE$
Xét tứ giác $ADEC$, ta có:
$AC=DE\left( cmt \right)$
$AD=CE\left( cmt \right)$
Nên tứ giác $ADEC$ là hình bình hành
Lại có $H$ là trung điểm của $CD$
Do đó $H$ cũng là trung điểm của $AE$
Xét $\Delta AEF$, ta có:
$H$ là trung điểm của $AE\left( cmt \right)$
$K$ là trung điểm của $EF\left( gt \right)$
Nên $HK$ là đường trung bình của $\Delta AEF$
Do đó $HK//AF$
d)
Ta có ${{S}_{\Delta AEF}}={{S}_{\Delta AHF}}+{{S}_{\Delta EHF}}$
$\Rightarrow 30\left( c{{m}^{2}} \right)=\dfrac{1}{2}AD\cdot HF+\dfrac{1}{2}EC\cdot HF$
$\Rightarrow \dfrac{1}{2}HF\left( AD+EC \right)=30\left( c{{m}^{2}} \right)$
$\Rightarrow HF.\left( AD+AD \right)=2.30\left( c{{m}^{2}} \right)$
$\Rightarrow 2HF.AD=60\left( c{{m}^{2}} \right)$
$\Rightarrow 2\cdot\dfrac{3}{2}CD\cdot AD=60\,\left( c{{m}^{2}} \right)$
$\Rightarrow 3CD.AD=60\,\left( c{{m}^{2}} \right)$
$\Rightarrow CD.AD=60:3\left( c{{m}^{2}} \right)$
$\Rightarrow {{S}_{ABCD}}=20\left( c{{m}^{2}} \right)$
