Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:
Gọi \(L,\,\,Q\) theo thứ tự là trung điểm của \(DC,\,\,D'C'\).
Ta có: \(\Delta BCD\) đều nên \(ML \bot CD\).
Lại có \(DCC'D'\) là hình chữ nhật nên \(QL \bot CD\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABCD} \right) \cap \left( {DCC'D'} \right) = CD\\ML \subset \left( {ABCD} \right),\,\,ML \bot CD\\QL \subset \left( {DCC'D'} \right),\,\,QL \bot CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {DCC'D'} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {ML;QL} \right) = {60^0}\)
Ta có: \(DC \bot \left( {BLQ} \right) \Rightarrow \left( {ABCD} \right) \bot \left( {BLQ} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {Q;\left( {ABCD} \right)} \right) = \sin \left( {BL;QL} \right).LQ = \sin {60^0}.2a = a\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = d\left( {Q;\left( {ABCD} \right)} \right).2{S_{\Delta BCD}} = a\sqrt 3 .2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3{a^3}}}{2}\).
Vì \(PK//A'N\) nên \(A',\,\,N,\,\,P,\,\,K\) đồng phẳng.
\( \Rightarrow {V_{MNPKA'}} = {V_{M.A'NPK}} = \dfrac{1}{2}{V_{M.A'DPK}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3}{V_{AMK.DLP}} = \dfrac{1}{3}{V_{AMK.D'LP}}\).
Lại có \({V_{AMK.D'LP}} = \dfrac{3}{8}{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = \dfrac{3}{8}.\dfrac{{3{a^2}}}{2} = \dfrac{{9{a^3}}}{{16}}\).
Vậy \({V_{MNPKA'}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{9{a^3}}}{{16}} = \dfrac{{3{a^3}}}{{16}}\).
Chọn A