Cho hình lăng trụ đứng ABCD.EFGH có đáy là hình thoi. Biết đường cao AE = 5 cm, đường chéo AG = 15 cm, DF = 9 cm. Tính cạnh AB của đáy? A.AB = 7 cm. B.AB = 8 cm. C.AB = 9 cm. D.AB = 10 cm.
Đáp án đúng: B Giải chi tiết: Gọi O là giao của 2 đường chéo DB và AC trong mặt đáy (ABCD) của hình lăng trụ đứng ABCD.EFGH. Ta có: \(CG\bot AC,\ BF\bot B\text{D}\) (Vì ABCD.EFGH là hình lăng trụ đứng) Ta lại có: AE = CG = BF = 5 cm (Vì AE, CG, BF là các cạnh bên của hình lăng trụ đứng ABCD.EFGH) Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông ACG, ta có: \(\begin{align} & A{{C}^{2}}+C{{G}^{2}}=A{{G}^{2}} \\ & \Leftrightarrow A{{C}^{2}}+{{5}^{2}}={{15}^{2}} \\ & \Leftrightarrow A{{C}^{2}}={{15}^{2}}-{{5}^{2}}=200 \\ & \Rightarrow AC=10\sqrt{2}\ cm \\\end{align}\) Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông DBF, ta có: \(\begin{align} & D{{B}^{2}}+B{{F}^{2}}=D{{F}^{2}} \\ & \Leftrightarrow D{{B}^{2}}+{{5}^{2}}={{9}^{2}} \\ & \Leftrightarrow D{{B}^{2}}={{9}^{2}}-{{5}^{2}}=56 \\ & \Rightarrow DB=2\sqrt{14}\ cm \\\end{align}\) Ta có: \(B\text{D}\bot AC\), \(AO=OC=\frac{1}{2}AC=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}\ cm,\ OB=O\text{D}=\frac{1}{2}DB=\frac{2\sqrt{14}}{2}=\sqrt{14}\ cm\) (Vì ABCD là hình thoi) Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AOB, ta có: \(\begin{align} & O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=A{{B}^{2}} \\ & \Leftrightarrow {{(5\sqrt{2})}^{2}}+{{(\sqrt{14})}^{2}}=A{{B}^{2}} \\& \Leftrightarrow 64=A{{B}^{2}} \\ & \Rightarrow AB=8\ cm \\\end{align}\) Vậy AB = 8 cm. Chọn B