Bài 3:

a) Theo đề ta có:

$\widehat{A} + \widehat{B} = \dfrac{\widehat{C} + \widehat{D}}{2}$

$\Leftrightarrow 2\widehat{B} = \dfrac{2\widehat{C}}{2}=\widehat C$ (do ABCD là hình thang cân) (1)

mà $\widehat{B} + \widehat{C} = 180^o$ (hai góc ở vị trí trong cùng phía) (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow\widehat B+2\widehat B=180^o$

$\Rightarrow\widehat B=60^o=\widehat A$

$\Rightarrow\widehat C=\widehat D=120^o$

b) Ta có: $AC\perp BC$

$\Rightarrow \widehat{ACB} = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{CAB} = 90 - \widehat{B} = 90 - 60 = 30^o$

$\Rightarrow \widehat{DAC} = \widehat{A} - \widehat{CAB} = 60 - 30 = 30^o$

$\Rightarrow \widehat{DAC} = \widehat{CAB}=30^o$

$\Rightarrow \text{AC là phân giác của $\widehat{DAB}$}$

c) Ta có: $\widehat{CAB} = \widehat{DCA} = 30^o$ (so le trong)

$\Rightarrow \widehat{DCA} = \widehat{DAC} = 30^o$

$\Rightarrow ΔDAC$ cân tại $D$

$\Rightarrow DC = DA = a$

$\Rightarrow AD = DC = CB = a$

Kẻ đường cao $CH, \, DK$

$\Rightarrow HK = DC = a$

$\Rightarrow AK = BH = \dfrac{AD}{2} = \dfrac{a}{2}$

$\Rightarrow AB = HK + 2AK = a + 2.\dfrac{a}{2} = 2a$

$\Rightarrow P_{ABCD} = AB + BC + CD + DA = 2a + a + a + a = 5a$

Bài 4:

Kẻ 2 đường cao $DE,CF$

$\Rightarrow\Delta AED$ và $\Delta BFC$ vuông cân lần lượt tại đỉnh E và F

Áp dụng định lý Pitago vào hai tam giác vuông trên ta có:

$AE^2+DE^2=AD^2$

$\Leftrightarrow 2AE^2=\dfrac{32}{25}\Rightarrow AE^2=\dfrac{16}{25}$

$\Rightarrow AE=\dfrac45=0,8 \, cm=BF$

Tứ giác $CDEF$ là hình chữ nhật vì có 4 góc đều là góc vuông

$\Rightarrow CD=EF=AB-2AE=3,2-0,8.2=1,6cm$ 

Bài 5:

Kẻ đường cao $AH, \, BK$

$\Rightarrow DH = KC; \, AB = HK$

Ta có: $AH = \dfrac{AB + CD}{2} = \dfrac{a + b}{2}$

$DH = CD - HK - KC = \dfrac{CD - AB}{2} = \dfrac{a - b}{2}$

$\Rightarrow AB = BC = \sqrt{(\dfrac{a + b}{2})^2 + (\dfrac{a - b}{2})^2} = \dfrac{\sqrt{2(a^2 + b^2)}}{2}$

Kẻ $BK\bot DC$

$\Rightarrow ABKH$ là hình chữ nhật vì có 4 góc là góc vuông

$\Rightarrow AB=HK$

Do $ABCD$ là hình thang cân nên $AD=BC,\widehat{ADH}=\widehat{BCK}$

$\Rightarrow\Delta AHD=\Delta BKC$ (cạnh huyền-góc nhọn)

$\Rightarrow DH=KC=\dfrac{a-b}2$

$AH=\dfrac{a+b}2$

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta BKC\bot K$ có:

$BC=\sqrt{BK^2+KC^2}=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+2ab}4+\dfrac{a^2+b^2-2ab}4}$

$=\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}2}$cm.