Giải thích các bước giải:
a. Kẻ OE⊥AD tại E
Vì ABCD là hình thoi -> AO là tia phân giác của góc BAD
Xét ΔAFO và ΔAEO có:
góc FAO=góc EAO (vì AO là tia phân giác)
AO chung
góc AFO=góc AEO =90
-> ΔAFO = ΔAEO (cạnh huyền - góc nhọn)
-> OF=OE
-> E thuộc đường tròn (O,OF)
mà OE⊥AD tại E
-> AD tiếp xúc với (O,OF)
Chứng minh tương tự ta được BC,DC tiếp xúc với (O,OF)
-> đpcm
b. Vì ABCD là hình thoi
-> AB=AD -> ABD là tam giác cân ở A
mà AO là đường cao
-> AO là đường trung trực
-> AO đi qua tâm ngoại của tam giác ABD
mà K∈AO, K ∈đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
-> AK là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
B∈đường tròn đường kính AK
-> KB⊥AB
mà AB//CD -> KB⊥CD
Xét ΔBCD có đường cao BK,CO
mà CO và BK giao nhau tại K
-> K là trực tâm của tam giác BCD (đpcm)
c.
i. Vì tam giác ABD cân ở A mà góc BAD=60
-> tam giác ABD đều -> AB=BD=AD=a
O là trung điểm BD -> OB=$\frac{a}{2}$
Xét tam giác OAB vuông ở O
-> OA²=AB²-OB²=$\frac{3a^2}{4}$ -> OA=$\frac{a√3}{2}$
mà O là trung điểm AC -> AC=a√3
\({S_{ABCD}} = AC.DB = a\sqrt 3 .a = {a^2}\sqrt 3 \)
ii. Giả sử G là trọng tâm tam giác ABD
mà tam giác ABD đều -> G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD
AG=$\frac{2}{3}$ .AO=$\frac{2}{3}$.$\frac{a√3}{2}$=$\frac{a√3}{3}$
-> AK=2.AG=$\frac{2a√3}{3}$
-> OK=AK-AO=$\frac{a√3}{6}$
-> $\frac{AO}{OK}$ =3 (1)
KC=AC-AK=$\frac{a√3}{3}$
-> $\frac{AC}{CK}$ =3 (2)
Từ (1),(2) -> $\frac{AO}{OK}$= $\frac{AC}{CK}$ (đpcm)
