Cho hình thoi ABCD. Trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF. Gọi G, H thứ tự là giao điểm của AE, AF với đường chéo BD. Chứng minh rằng tứ giác AGCH là hình thoi. A. B. C. D.
Đáp án đúng: Giải chi tiết: Gọi O là giao điểm của AC và BD thì (do O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi) Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được: \(AB = AD,\widehat {\,\,B} = \widehat D,\,\,BE = DF.\) Từ đó suy ra \(\Delta ABE = \Delta ADF(c.g.c)\) Suy ra \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{A_4}}\) (hai góc tương ứng). Mà AC là phân giác của \(\widehat A \Rightarrow \widehat {{A_2}} = \widehat {{A_3}}.\) (1) Do đó AO là phân giác của \(\widehat {HAG}.\) Xét tam giác AGH có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên tam giác AGH cân tại A. Suy ra HO = OG.(2) Do ABCD là hình thoi nên AO = OC (tính chất đường chéo của hình thoi) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra AHCG là hình thoi. (đpcm)