Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Trên tia đối của tia $DC$ lấy $K$ sao cho $DK = HG (1)$
Dễ thấy $Δ$ vuông $AHF = Δ$ vuông $ADF ⇒ FD = FH =x (2)$
Từ $(1); (2) ⇒ FD + DK = FH + HG ⇔ FK = FG (*)$
$Δ$ vuông $AHF = Δ$ vuông $ADF ⇒ ∠AFD = ∠AFH (**)$
Từ $(*); (**) ⇒ ΔAFK = AFG $ ( chung $AF$) ⇒ AK = AG$
Mà $AD = AB = a ⇒ Δ$ vuông $ADK = Δ$ vuông $ABG$
$ ⇒ DK = BG ⇔ HG = BG = y (3)$
Từ $(2); (3) ⇒ FG = FH + HG = x + y$
Ta có $ FG² = FC² + CG² ⇔ (x + y)² = (a - x)² + (a - y)²$
$ ⇔ (x + y)² = x² + y² + 2a² - 2a(x + y) $
$ ⇔ 2(x + y)² = 2(x² + y²) + 4a² - 4a(x + y) $
$ ≥ (x + y)² + 4a² - 4a(x + y) $
$ ⇔ (x + y)² + 4a(x + y) + 4a² ≥ 8a²$
$ ⇔ (x + y + 2a)² ≥ 8a² ⇒ x + y + 2a ≥ 2a\sqrt[]{2}$
$ ⇒ FG = x + y ≥ 2a(\sqrt[]{2} - 1)$
$ ⇒ S_{AFG} = \dfrac{1}{2}AH.FG ≥ a²(\sqrt[]{2} - 1)$
$ MinS_{AFG} = a²(\sqrt[]{2} - 1) ⇔ x = y = a(\sqrt[]{2} - 1)$
Vậy $ DF = x = a\sqrt[]{2} - a = AC - AD $ xác định
